专题7空间向量与立体几何
1．已知点A,B,C,D在同一个球的球面上，AB?BC?2，AC?2，若四面体ABCD外接球的球心O恰好在侧棱DA上，DC?23，求四面体ABCD的体积．
【答案】23 3【解析】
由AB?BC?2，AC?2，可知?ABC??2，
取AC的中点M，则点M为?ABC外接圆的圆心，又O为四面体ABCD外接球球心， 所以OM?平面ABC，且OM为?ACD的中位线， 所以DC?平面ABC，
故三棱锥D?ABC的体积为V?1123． ??2?2?23?3232．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，E为PC的中点，PB＝PD． （1）证明：BD⊥平面PAC．
（2）若PA＝PC＝2，求三棱锥E﹣BCD的体积．
【答案】（1）见解析．（2）3． 6【解析】（1）连接A、C，交BD于O，连接p、O， ∵O是正方形ABCD的对角线交点，
∴BD⊥AC，又∵PB＝PD，O是BD的中点，∴BD⊥PO， 又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面PAC． （2）∵PA＝PC＝2，∴△PAC是等腰三角形， 又∵O是AC的中点，∴PO⊥AC， ∴PO⊥平面ABCD．
∵AB?2，∴AO?11AC??2?AB?1， 22∴PO?PA2?AO2?4?1?3，
又∵E是PC的中点，∴E到平面ABCD的距离是P到平面ABCD的距离的一半，
∴VE﹣BCD?1?S33?1?11?2?1． ?PO???(2)??3?BCD?????2?32?2?6
AB∥CD，?DAB?3．如图甲，直角梯形ABCD中，
?2N分别在AB、CD上，MC⊥CB，，点M、且MN⊥AB，
BC＝2，MB＝4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直（如图乙）
（1）求证：AB∥平面DNC；
（2）当DN的长为何值时，二面角D－BC－N的大小为
?？ 6【答案】(1)证明见解析；(2)DN?3. 2【解析】（1）∵MB∥NC，MB不在平面DNC内，NC?平面DNC， ∴MB∥平面DNC. 同理MA∥平面DNC，
又MA∩MB＝M且MA、MB?平面MAB， ∴平面MAB∥平面NCD， 又AB?平面MAB， ∴AB∥平面NCD.
专题07空间向量与立体几何(解析版)-【备战高考】2021年高三数学高考复习刷题宝典(解答题专练)
