3第三章微分中值定理与导数的应用习题
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第三章 微分中值定理与导数的应用答案
§3.1 微分中值定理
1． 填空题
（１）函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是?Skip Record If...?．
（２）设?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?有 3 个实根，分别位于区间?Skip Record If...?中．
2． 选择题
（１）罗尔定理中的三个条件:?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上连续，在?Skip Record If...?内可导，且?Skip Record If...?，是?Skip Record If...?在?Skip Record If...?内至少存在一点?Skip Record If...?，使?Skip Record If...?成立的（ B ）．
A． 必要条件 B．充分条件 C． 充要条件 D． 既非充分也非必要条件
（２）下列函数在?Skip Record If...?上满足罗尔定理条件的是（ C ）． A. ?Skip Record If...? B. ?Skip Record If...? C. ?Skip Record If...? D. ?Skip Record If...?
（３）若?Skip Record If...?在?Skip Record If...?内可导，且?Skip Record If...?是?Skip Record If...?内任意两点，则至少存在一点?Skip Record If...?，使下式成立（ B ）．
A． ?Skip Record If...? B． ?Skip Record If...?在?Skip Record If...?之间 C． ?Skip Record If...? D． ?Skip Record If...?
3．证明恒等式：?Skip Record If...?． 证明： 令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?，所以?Skip Record If...?为一常数．
设?Skip Record If...?，又因为?Skip Record If...?， 故 ?Skip Record If...?．
4．若函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?内具有二阶导数，且?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...? ?Skip Record If...?，证明:在?Skip Record If...?内至少有一点?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?．
证明：由于?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上连续,在?Skip Record If...?可导,且?Skip Record If...?，根据罗尔定理知，存在?Skip Record If...?， 使?Skip Record If...?． 同理存在?Skip Record If...?，使?Skip Record If...?． 又?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上
符合罗尔定理的条件，故有?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?．
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5． 证明方程?Skip Record If...?有且仅有一个实根． 证明：设?Skip Record If...?， 则?Skip Record If...?，根据零点存在定理至少存在一个?Skip Record If...?， 使得?Skip Record If...?．另一方面，假设有?Skip Record If...?，且?Skip Record If...?，使?Skip Record If...?，根据罗尔定理，存在?Skip Record If...?使?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?，这与?Skip Record If...?矛盾．故方程?Skip Record If...?只有一个实根．
6． 设函数?Skip Record If...?的导函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上连续，且?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?是介于?Skip Record If...?之间的一个实数． 证明： 存在?Skip Record If...?, 使?Skip Record If...?成立.
证明： 由于?Skip Record If...?在?Skip Record If...?内可导，从而?Skip Record If...?在闭区间?Skip Record If...?内连续，在开区间?Skip Record If...?内可导．又因为?Skip Record If...?，根据零点存在定理，必存在点?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?． 同理，存在点?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?．因此?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上满足罗尔定理的条件，故存在?Skip Record If...?， 使?Skip Record If...?成立．
7. 设函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上连续, 在?Skip Record If...?内可导. 试证:至少存在一点?Skip Record If...?, 使
?Skip Record If...?
证明： 只需令?Skip Record If...?，利用柯西中值定理即可证明.
8．证明下列不等式 （１）当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?． 证明： 设?Skip Record If...?，函数?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上满足拉格朗日中值定理的条件，且?Skip Record If...?, 故?Skip Record If...?, 即
?Skip Record If...? (?Skip Record If...?)
因此， 当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?．
（２）当 ?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?． 证明：设?Skip Record If...?，则函数在区间?Skip Record If...?上满足拉格朗日中值定理得条件，有
?Skip Record If...?
因为?Skip Record If...?，所以?Skip Record If...?，又因为?Skip Record If...?，所以?Skip Record If...?，从而 ?Skip Record If...?．
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§3.1 洛毕达法则
1． 填空题 （１） ?Skip Record If...??Skip Record If...? （２）?Skip Record If...? 0 （３）?Skip Record If...?=?Skip Record If...? （４）?Skip Record If...?1
２．选择题
（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ） A． ?Skip Record If...??Skip Record If...? B． ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? C． ?Skip Record If...?不存在 D． ?Skip Record If...?=?Skip Record If...?
（２） 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ） A． ?Skip Record If...? B． ?Skip Record If...? C． ?Skip Record If...? D． ?Skip Record If...?
3． 求下列极限 （１）?Skip Record If...?． 解： ?Skip Record If...?=?Skip Record If...?．
（２）?Skip Record If...?． 解： ?Skip Record If...?=?Skip Record If...?=?Skip Record If...?=?Skip Record If...?．
（３）?Skip Record If...? ．
解：?Skip Record If...?＝?Skip Record If...?＝?Skip Record If...?． （４） ?Skip Record If...?． 解：?Skip Record If...?＝?Skip Record If...?＝?Skip Record If...?．
（５）?Skip Record If...?． 解： ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...?＝?Skip Record If...?＝?Skip Record If...? ?Skip Record If...?． （６） ?Skip Record If...?． 解：?Skip Record If...?
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（７） ?Skip Record If...? ． 解：?Skip Record If...?． （８）?Skip Record If...?． 解： ?Skip Record If...?=?Skip Record If...? =?Skip Record If...?=?Skip Record If...?．
（９） ?Skip Record If...?． 解： 因为?Skip Record If...?，所以?Skip Record If...?=1．
§3.3 泰勒公式
１．按?Skip Record If...?的幂展开多项式?Skip Record If...?． 解： ?Skip Record If...?， 同理得?Skip Record If...?，且?Skip Record If...?． 由泰勒公式得：?Skip Record If...?=?Skip Record If...?．
2． 求函数?Skip Record If...?的带有佩亚诺型余项的?Skip Record If...?阶麦克劳林公式．
解：因为?Skip Record If...?， 所以 ?Skip Record If...?=?Skip Record If...?=?Skip Record If...?．
3． 求一个二次多项式?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?． 解：设?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?，?Skip Record If...?． ?Skip Record If...?， 故 ?Skip Record If...?， 则 ?Skip Record If...?为所求．
4．利用泰勒公式求极限?Skip Record If...?． 解：因为 ?Skip Record If...?， 所以 ?Skip Record If...?=?Skip Record If...?=?Skip Record If...?， 故 ?Skip Record If...?．
5． 设?Skip Record If...?有三阶导数,且?Skip Record If...?,证明在?Skip Record If...?内存在一点?Skip Record If...?,使?Skip Record If...?．
证明： 因为 ?Skip Record If...?，所以?Skip Record If...?． 由麦克劳林公式得：?Skip Record If...? （?Skip Record If...?介于0与?Skip Record If...?之间），因此 ?Skip Record If...?，由于?Skip Record If...?，故?Skip Record If...?．
§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性
1． 填空题 （１） 函数?Skip Record If...?的单调增加区间是?Skip Record If...?，单调减少区间?Skip Record If...?．
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