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§3.1.4 空间向量的正交分解及坐标表示
【学情分析】：
本小节首先把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平面扩大到空间这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念让学生从二维到三维发现规律，培养学生的探索创新能力。
【教学目标】：
（1）知识与技能：掌握空间向量基本定理，会判断空间向量共面 （2）过程与方法：正交分解推导入手，掌握空间向量基本定理
（3）情感态度与价值观：认识将空间向量的正交分解，能够将空间向量在某组基上进行分解
【教学重点】：空间向量正交分解，空间向量的基本定理地使用 【教学难点】：空间向量的分解 【课前准备】：课件 【教学过程设计】：
教学环节 教学活动 回顾平面向量的正交分解和平面向量设计意图 由此为基础，推导空一．温故知新 的基本定理 间向量的正交分解和基本定理 1．空间向量的正交分解 设i，j，k是空间的三个两两垂直的向量，且有公共起点O。对于空间任意一个式。 向量p?OP，设Q为点P在i，j所确定 而在i，j所确定的平面上，由平面向 以平面向量的基本定理为基础，层层递进，得到空间向量的正交分解形二．新课讲授 的平面上的正投影，由平面向量基本定理可知，在OQ，k所确定的平面上，存在实数z，使得OP?OQ?zk 精心校对
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量基本定理可知，存在有序实数对(x,y)，使得OQ?xi?yj
从而OP?OQ?zk?xi?yj?zk 由此可知，对空间任一向量p，存在一个有序实数组{x,y,z}，使得
p?xi?yj?zk，称xi，yj，zk为向量p在i，j，k上的分向量。
2．空间向量的基本定理
如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组
(x,y,z)，使p?xa?yb?zc
由此定理， 若三向量a,b,c不共面，那么空间的任一向量都可由a,b,c线性表示，我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底，
注意介绍单位正交基、正交基、基的特殊与一般的关系，以帮助学生理解概念。
a,b,c叫做基向量。
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底
如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量
e1,e2,e3都是单位向量时，称这个基底为单
位正交基底，对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组(x,y,z)，使
p?xe1?ye2?ze3记p?(x,y,z)
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推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x,y,z，使OP?xOA?yOB?zOC 例1． 如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB,AC，M,N分别是对边OA,BC的中点，点G在线段MN上，且MG?2GN，用基底向量OA,OB,OC表示向量OG AGNMCO向量的分解过程中注三．典例讲练 B意向量的运算的正确使用。 解：OG?OM?MG 2?OM?MN312?OA?(ON?OM)231211?OA?[(OB?OC)?OA] 2322111?OA?(OB?OC)?OA233111?OA?OB?OC633 ∴ OG?111OA?OB?OC 633精心校对
人教A版高中数学选修2-1教案 3.1空间向量及其运算第4课时
