2019~2020学年度高三年级12月份月考
应届理科数学试卷
命题人：李大乐 审题人：
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)
1．i1?i?1?ii= （ ） A．?12?12i B．12?12i C．?32?12i D．?12?32i 2．已知定义在??上的函数??(??)满足??(??+6)=??(??),且??=??(??+3)为偶函数，若??(??)在(0,3)内单调递减，则下面结论正确的是（ ）
A．??(?4.5)
3、已知两个等差数列?an?和?bn?的前n项和分别为Sn和Tn，且
（n?1)Sn?(7n?23)Tn，则使得anb为整数的正整数n的个数是（ ） nA. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4．某几何体的三视图如图所示（单位：????），则这个几何体的体积为（ ）
第4题图 第5题图
A．20????3 B．24????3 C．16cm3 D．
5．已知函数f(x)?2sin(?x??)(??0,|?|??)的部分图象如图所示，且A(?2,1),B(?,?1)，则?的
值为（ ）
A．5??6
B．6
C．??D．?5?6 6 6.的内角
的对边分别为
．若成等比数列，且
，则( )
A．
B． C． D．
7．不等式a2?3a?x?3?bx?4（其中b??0,1?）对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A．???,?1????4,??? B．??1,4? C．?1,2? D．???,?1????2,???
8．已知函数f?x?????x2?4ax?3?x?1????2?3a?x?1?x?1?在x?R内单调递减，则的取值范围是( ).
A．???0,1?2?? B．??1?2,2??2?3?? C．??3,1?? D．?1,??? 9．已知x?0，y?0，lg2x?lg8y?lg2，则11x?3y的最小值是（ ）
A．2 B．22 C．3 D．4 10．平面内有三个向量，其中与夹角为120°，与的夹角为30°，
且，若，（λ，μ∈R）则（ ）
A．λ=4，μ=2 B．
C． D．
11．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA?平面ABCE，四边形
ABCD为正方形，AD?2，ED?1，若鳖臑P?ADE的外接球的体积为714?3，则阳马
P?ABCD的外接球的表面积等于
第10题图 第11题图 第12题图
A．18π B．17π C.16π D.15π
12.．如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（ ）
A．（0，] B．（
，2]
C．（
，2
] D．（2，4]
二、填空题
13．已知函数f(x)?2asin(π?x??)???a?0,??0,??π?2??，直线y?a与f(x)的图象的相邻
两个交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题： ①该函数在[2,4]上的值域是[a,2a]；
②在[2,4]上，当且仅当x?3时函数取最大值；
③该函数的最小正周期可以是83； ④f(x)的图象可能过原点．
其中的真命题有__________．（写出所有真命题的序号）
14．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15. 求Sn_________
15．数列?aa2n?中，1?1，以后各项由公式a1?a2?a3?...?an?n给出，则a3?a5等于_____.
16．已知p:2x2?3x?1?0，q:x2?(2a?1)x?a(a?1)≤0．若?p是?q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是__． 三、解答题
17．已知函数f(x)?3sin?x?cos?x?cos2?x?b?1． （1）若函数f(x)的图象关于直线x??6对称，且???0,3?，求函数f(x)的单调递增区间；
（2）在（1）的条件下，当x???7???0,12??时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值
范围．
18．如图，在直角梯形??CD中，??//CD，????D，且????D?12CD?1．现以?D为一边向梯形外作矩形?D?F，然后沿边?D将矩形?D?F翻折，使平面?D?F与平面??CD垂直．
（1）求证：?C?平面?D?； （2）若点D到平面??C的距离为
63，求三棱锥F??D?的体积． 19．．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值．
20．在直角梯形PBCD中，?D??C??2,BC?CD?2,PD?4,A为PD的中点，如图．将△PAB
沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且SE?13SD，如图．
（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．
21．已知以a1为首项的数列?an?满足：an?1?an?1（n?N*）.
（1）当a11??3时，且?1?an?0，写出a2、a3；
（2）若数列?an?（1?n?10，n?N*）是公差为?1的等差数列，求a1的取值范围；
22已知函数f(x)＝λln x－e-x(λ∈R)．
(1)若函数f(x)是单调函数，求λ的取值范围；
(2)求证：当0 1 2019~2020学年度高三年级12月份月考 应届数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C B D C B C D C B A 13．④ 14．S?n261n?8n15． 16 16．?1???0,2?? 17．.试题解析： （1）函数f?x??3sin?xcos?x?cos2?x?b?1 ?sin???2?x???6???32?b，......................2分 ∵函数f?x?的图象关于直线x??6对称， ∴2???6??6?k???2，k?Z且???0,3?，∴??1（k?Z），. 由2k????2?2x??6?2k???2解得k??3?x?k???6（k?Z），.....................4分 函数f?x?的单调增区间为???k???3,k????6??（k?Z）．.....................5分 （2）由（1）知f?x??sin????2?x??36???2?b， ∵x??????4???0,7??12??，∴2x?6???6,3??， ∴2x??????6???6,2??，即x????0,??6??函数f?x?单调递增； 2x????6???2,4??3??，即x?????6,7??12??函数f?x?单调递减．.....................7分 又f?0??f?????3??，∴当f?????3???0 ?f??7???12??或f?????6???0时，函数f?x?有且只有一个零点， 即sin4?353??b?2?sin?6或1?32?b?0， ∴b?????2,3?3??5??2?????．............................................10分 ??2?18.（1）见解析；（2）16． 解析：（1）证明：在矩形?D?F中，?D??D 因为面?D?F?面??CD， 所以?D?面??CD，所以?D??C 又在直角梯形??CD中，????D?1，CD?2，??DC?45，所以?C?2， 在??CD中，?D??C?2，CD?2，.........................................4分 所以：?D2??C2?CD2 所以：?C??D， 所以：?C?面?D?...................................................6分 （2）由（1）得：面D???面?C? ， 作D????于?，则D??面?C? 所以：D??63.........................................8分 在??D?中，?D?D?????D? 即：2?D??63?D?2?2?，解得D??1 所以：V111F??D??V???FD?3?2?1?6........................................12分 解 (1)由2x＋8y－xy＝0，得82 x＋y＝1，又x>0，y>0， 19. 则1＝82x＋y≥2 8x·2y＝8xy ，得xy≥64， 当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立．.........................................6分 (2)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝8y y－2， 因为x>0，所以y>2， 则x＋y＝y＋8yy－2＝(y－2)＋16 y－2＋10≥18， 当且仅当y－2＝16 y－2 ，即y＝6，x＝12时等号成立．........................................12分 解法二：由2x＋8y－xy＝0，得82 x＋y＝1， 则x＋y＝??822x8y?x＋y???·(x＋y)＝10＋2x8yy＋x≥10＋2y·x＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立．.........................................12分 （Ⅰ）证明见解析（Ⅱ） 20. 【解析】 试题分析：（法一）（1）由题意可知，翻折后的图中SA⊥AB①，易证BC⊥SA②，由①②根据直线与平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD；.........................................4分 （2）（三垂线法）由 考虑在AD上取一点O，使得 ，从而可得EO∥SA，所以EO⊥ 平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，在Rt△AHO中求解即可 （法二：空间向量法） （1）同法一 （2）以A为原点建立直角坐标系，易知平面ACD的法向为，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可 解法一：（1）证明：在题平面图形中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形， 所以在翻折后的图中，SA⊥AB，SA=2，四边形ABCD是边长为2的正方形， 因为SB⊥BC，AB⊥BC，SB∩AB=B 所以BC⊥平面SAB， 又SA?平面SAB， 所以BC⊥SA， 又SA⊥AB，BC∩AB=B 所以SA⊥平面ABCD， （2）在AD上取一点O，使，连接EO 因为 ，所以EO∥SA 因为SA⊥平面ABCD， 所以EO⊥平面ABCD， 过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH， 则AC⊥平面EOH， 所以AC⊥EH． 所以∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，． 在Rt△AHO中， ∴ ， 即二面角E﹣AC﹣D的正切值为.........................................12分 解法二：（1）同方法一 （2）解：如图，以A为原点建立直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，） ∴平面ACD的法向为.........................................6分 设平面EAC的法向量为=（x，y，z）， 由???n?AC?0， ??n?AE?0所以，可取 所以=（2，﹣2，1）．.........................................9分 所以 所以 即二面角E﹣AC﹣D的正切值为.........................................12分 21.（1）a22??3，a13??3；（2）a1??9 【解析】(1)因为以aa11为首项的数列?n?满足：an?1?an?1，a1??3，?1?an?0， 所以a?a221121?1??3，所以a2??3；由a3?a2?1?3得a3??3；...........4分 (2)因为数列an?（1?n?10，n?N*）是公差为?1的等差数列， 所以an?1?an?1?an?1，所以?a2n?1?2??an?1?， .......................6分 所以?2an?2an，所以an?0， 所以 an??an， .........................................8分 故?an??a1??n?1?，所以an?a1??n?1??0， 因为1?n?10， .........................................10分 所以由题意只需： a10?a1?9?0，故 a1??9..........................................12分 22.解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， λ－x ∵f(x)＝λln x－e-x ，∴f′(x)＝－xλ＋xex＋e＝x， ∵函数f(x)是单调函数，∴f′(x)≤0或f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，....2分 ①当函数f(x)是单调递减函数时，f′(x)≤0， ∴λ＋xe－x－x≤0，λ≤－xe－x＝－xx≤0，即λ＋xeex， 令φ(x)＝－x x－1ex，则φ′(x)＝ex， 当0 则φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴当x>0时，φ(x)min＝φ(1)＝－11 e，∴λ≤－e；.........................................4分 ②当函数f(x)是单调递增函数时，f′(x)≥0， λ＋xe－x∴x≥0，即λ＋xe－x≥0，λ≥－xe－x＝－xe x， 由①得φ(x)＝－x ex在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，x→＋∞时，φ(x)<0，∴λ≥0. 综上，λ≤－1 e或λ≥0..........................................6分 (2)证明：由(1)可知，当λ＝－1f(x)＝－1 e时，eln x－e－x在(0，＋∞)上单调递减，∵0 eeln x2－e-x2， ∴e-x2－e-x1>ln x1－ln x2. 要证e1-x>1－x2x22－e1-x1x1x2 x1.只需证ln x1－ln x2>1－x1，即证ln x2>1－x1 ， 令t＝x12 ，t∈(0,1)，则只需证ln t>1－1 xt，.........................................10分 令h(t)＝ln t＋1 t－1t－1，则当0 ∴h(t)在(0,1)上单调递减，又h(1)＝0，∴h(t)>0，即ln t>1－1 t，得证．...................12分
2019应届理科数学试卷答案完整
