初三数学《相似三角形》知识提纲
(孟老师归纳)
一：比例的性质及平行线分线段成比例定理
（一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段 a，b 的长度分别为 m，n，那么就说这两条线段 的比是，或写成 a：b=m：n； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离
a m ? b n
3：成比例线段：在四条线段 a，b，c，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，
b d
那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作： ? （或 a：b=c：d）
a c
① 线段 a，d 叫做比例外项，线段 b，c 叫做比例内项，
② 线段 a 叫首项，d 叫 a，b，c 的第四比例项。
a b 2
③ 比例中项:若 ? 即b ? a ? c, 则b是a, c 的比例中项.
b c
（二）比例式的性质
a c
1.比例的基本性质: ? ? ad ? bc
b d
c a ? b c ? d a c
合比：若 a 或 ? ，则 ? ?
b d b d b ? a d ? c 2.
ae m
等比：若 ? c ? ? …… ? ? k（若b ? d ? f ? …… ? n ? 0）
b d f n 3.
a ? c ? e ? …… ? m a m
则 ? ? ? k
b ? d ? f ? …… ? n b n
4、黄金分割：
把线段 AB 分成两条线段 AC，BC（AC>BC），并且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项，
叫做把线段 AB 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，其中 AC=
5 ? 1
AB ? 0.618AB， 2
(三)平行线分线段成比例定理
1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
如图：当 AD∥BE∥CF 时，都可得到
= . = ，
= ，
语言描述如下： = ， = ， = .
（4）上述结论也适合下列情况的图形：
图（2）
图（3） 图（4） 图（5）
2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
A
l1 E
A
D E
D B
l2 l3
D
E
A B C
l 1 l 2
D
E
A
l3
B C
C
B C
A 型
AD AE BD EC AD AE
由 DE∥BC 可得： . ? 或 ? 或 ?
DB EC AD EA AB AC
X 型
3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 那么这条直线平行于三角形的第三边.
如上图：若
= . = ， = ，则 AD∥BE∥CF
此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.
4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形
三边对应成比例.
二：相似三角形： （一）：定义： 1：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。用符号“∽”表示， 2：相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。 （二）：.相似三角形的判定定理：
1：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三 角形相似。
用数学语言表述如下： ∵DE∥BC△，∴ ADE∽△ABC
三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：
类型
全等三角形的判定
SAS
斜三角形
直角三角形
SSS
AAS（ASA）
HL
相似三角形 的判定
两边对应成 比例且夹角 相等
三边对应成 比例 两角对应相 等
一条直角边 与斜边对应 成比例
2：两角对应相等的两个三角形相似(此定理用的最多);
用数学语言表述如下：
∵∠A＝∠D，∠B＝∠E∴△ABD∽△DEF
3：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;
用数学语言表述如下：
ABAC
∵ ＝ ∴△ABD∽△DEF
DE DF
4：三边对应成比例的两个三角形相似;
用数学语言表述如下：
ABAC BC ∵ ＝ ＝ ∴△ABD∽△DEF
DE DF EF ABAC ∵∠C＝∠F ＝90° ＝
DE DF
5：直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.
用数学语言表述如下：
∴△ABD∽△DEF
6：直角三角形斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似
（即：射影定理）.
2、 相似三角形的基本图形
Ⅰ.平行线型：即 A 型和 X 型。 Ⅰ.相交线型
下图 △1：若 ABC∽△DCB, 则 AB 2 ＝AD.AC (此类型比例式最常用)
C
D
A
D
E
A
A
D
E
B C
C
B.
B
（三）: 相似三角形的性质
1: 相似三角形的对应角相等，对应边成比例
2: 相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 3: 相似三角形周长的比等于相似比
4: 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 5、相似多边形
（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相 似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数） （2）相似多边形的性质
①相似多边形的对应角相等，对应边成比例
②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比
③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比 ④相似多边形面积的比等于相似比的平方
四、位似图形
1：定义 1：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那
么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。 定义 2：由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个
图形放大或缩小
2：性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，到位似中心的距离之比都等于位似比。
初三数学《相似三角形》知识点归纳.
