【点评】此题考查了四边形综合题，关键是根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质分析．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
三、解答题（共7小题，满分57分） 22．（7分）（1）化简：（x+2）2+x（x+3） （2）解不等式组：
．
【分析】（1）利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则化简求出即可； （2）分别解不等式，进而得出其解集即可． 【解答】解：（1）（x+2）2+x（x+3） ＝x2+4x+4+x2+3x ＝2x2+7x+4； （2）
解①得：x≥2， 解②得：x≥﹣1， 故不等式组的解为：x≥2．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算以及解一元一次不等式组，正确掌握运算法则得出不等式组的解集是解题关键．
23．（7分）（1）如图，在矩形ABCD中，BF＝CE，求证：AE＝DF；
（2）如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD＝160°，求∠BCD的度数．
，
【分析】（1）根据矩形的性质得出AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，求出BE＝CF，根据SAS推出△ABE≌△DCF即可；
（2）根据圆周角定理求出∠BAD，根据圆内接四边形性质得出∠BCD+∠BAD＝180°，即可求出答案．
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【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°， ∵BF＝CE， ∴BE＝CF， 在△ABE和△DCF中
∴△ABE≌△DCF， ∴AE＝DF；
（2）解：∵∠BOD＝160°， ∴∠BAD＝∠BOD＝80°， ∵A、B、C、D四点共圆， ∴∠BCD+∠BAD＝180°， ∴∠BCD＝100°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质，圆周角定理，圆内接四边形性质的应用，解（1）小题的关键是求出△ABE≌△DCF，解（2）小题的关键是求出∠BAD的度数和得出∠BCD+∠BAD＝180°．
24．（8分）济南与北京两地相距480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，求高铁列车的平均行驶速度．
【分析】首先设普通快车的速度为xkm/h，则高铁列车的平均行驶速度是3xkm/h，根据题意可得等量关系：乘坐普通快车所用时间﹣乘坐高铁列车所用时间＝4h，根据等量关系列出方程，再解即可．
【解答】解：设普通快车的速度为xkm/h，由题意得：
﹣
＝4，
解得：x＝80，
经检验：x＝80是原分式方程的解， 3x＝3×80＝240，
答：高铁列车的平均行驶速度是240km/h．
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【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意分式方程不能忘记检验．
25．（8分）八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”、“戏剧”、“散文”、“其他”
四个类别，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．根据图表提供的信息，回答下列问题：
类别 小说 戏剧 散文 其他 合计
频数（人数）
4 10 6 m
频率 0.5 0.25 1
（1）计算m＝ 40 ；
（2）在扇形统计图中，“其他”类所占的百分比为 15% ；
（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从中任意选出2名同学参加学校的戏剧社团，请用画树状图或列表的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率．
【分析】（1）用散文的频数除以其频率即可求得样本总数； （2）根据其他类的频数和总人数求得其百分比即可；
（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是丙与乙的情况，即可确定出所求概率．
【解答】解：（1）∵喜欢散文的有10人，频率为0.25， ∴m＝10÷0.25＝40；
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（2）在扇形统计图中，“其他”类所占的百分比为故答案为：15%；
（3）画树状图，如图所示：
×100%＝15%，
所有等可能的情况有12种，其中恰好是丙与乙的情况有2种， ∴P（丙和乙）＝
＝．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
26．（9分）如图1，点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥y轴于D． （1）求m的值和直线AB的函数关系式；
（2）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线OD﹣DB向B点运动，同时动点Q从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线OC向C点运动，当动点P运动到B时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒． ①设△OPQ的面积为S，写出S与t的函数关系式；
②如图2，当点P在线段OD上运动时，如果作△OPQ关于直线PQ的对称图形△O′PQ，是否存在某时刻t，使得点O′恰好落在反比例函数的图象上？若存在，求O′的坐标和t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由于点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y＝的图象上，根据反比例
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函数的意义求出m，n，再由待定系数法求出直线AB的解析式；
（2）①由题意知：OP＝2t，OQ＝t，由三角形的面积公式可求出解析式；
②通过三角形相似，用t的代数式表示出O′的坐标，根据反比例函数的意义可求出t值．
【解答】解：（1）∵点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y＝的图象上， ∴m＝8×1＝8， ∴y＝，
∴8＝，即n＝1， 设AB的解析式为y＝kx+b， 把（8，1）、B（1，8）代入上式得：
，
解得：
．
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+9；
（2）①由题意知：OP＝2t，OQ＝t， 当P在OD上运动时， S＝
＝
＝t2（0＜t≤4），
当P在DB上运动时， S＝②存在，
当O′在反比例函数的图象上时，
作PE⊥y轴，O′F⊥x轴于F，交PE于E， 则∠E＝90°，PO′＝PO＝2t，QO′＝QO＝t，
由题意知：∠PO′Q＝∠POQ，∠QO′F＝90°﹣∠PO′E， ∠EPO′＝90′﹣∠PO′E， ∴△PEO′∽△O′FQ， ∴
＝
＝
，
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＝t×8＝4t（4＜t≤4.5）；
2015年山东省济南市中考数学试卷(含答案)
