习题参考答案
6-1 已知线性系统的微分方程如下，试用等倾线法绘制其相轨迹。
??3x??2x?0 ??x??2x?0 （1）? （2）?xx??2x?0 ??x??2x?0 （3）? （4）?xx??3x??1 ??1 （5）? （6）?xx6-2 已知二阶非线性系统的微分方程如下，求其奇点并确定奇点类型。
??(1?x)x??x?0 x（1）?3
???(1?|x|)x??x?0 （2）x6-3 如图所示二阶系统，非线性部分输出M>1。
（1）输入r(t)?0时，试用等倾线法做出变量x的相平面图，分析极限环的形成情况。
（1）输入r(t)?t时，试用等倾线法做出变量x的相平面图，并与（1）对比。
r(t)?x?Mau1s(s?1)y(t)
题6-3图
解：由图列出系统变量的方程：
?M,x?a?u??0,?a?x?a
??M,x??a?
1
x?r?y
???y??u y得到变量x的方程：
??M,x?ar??r??????x?????,?a?x?a xr??r????M,x??a?r??r（1）r(t)?0时，变量x的方程：
????x??M,x?a,Ix????x?,?a?x?a,II x????x??M,x??a,IIIx?。当x???M时??0，在I区，等倾线方程为???1?M/x????时???1，因此相轨迹汇合到水平线??0时???，当x当x???M并趋向无穷远处。 x在II区，等倾线方程为???1，即一簇平行线。
?。当x??M时??0，在III区，等倾线方程为???1?M/x????时???1，因此相轨迹汇合到水平线??0时???，当x当x??M并趋向无穷远处。 x当a = 0时，不存在II区，可形成极限环。
（2）r(t)?t时，变量x的方程：
????x??M?1,x?a,Ix????x??1,?a?x?a,II x????x??M?1,x??a,IIIx?。当x??1?M时在I区，等倾线方程为???1?(1?M)/x
2
????时???1，因此相轨迹汇合??0时???，当x??0，当x??1?M并趋向无穷远处。 到水平线x?。当x??1时??0，当在II区，等倾线方程为???1?1/x????时???1，因此相轨迹汇合到水平线??0时???，当xx??1并趋向无穷远处。 x?。当x??1?M时在III区，等倾线方程为???1?(1?M)/x????时???1，因此相轨迹汇合??0时???，当x??0，当x??1?M并趋向无穷远处。 到水平线x可见相轨迹形成一个稳定的极限环。
IIIII?xIIIIII?xI??Mx1?M1xxx=-ax=a
x=-ax=a
（1） （2）
6-4 如图所示二阶系统，非线性部分k>1，输入r(t)?0。试用等倾线法做出变量x的相平面图，分析极限环的形成情况。
r(t)?xkau??1s(s?1)y(t)Ts
题6-4图
解：由图列出系统变量的方程：
3
x?(?1?Ts)y，y?即x?1u
s(s?1)?1?Tsu。再由 2s?s?ka,x?a?u??kx,?a?x?a
??ka,x??a?得到变量x的微分方程：
????x??ka,x?a,xI????x??kx?kT,?a?x?a,II x????x??ka,x??a,xIII?。当x???ka时??0，在I区，等倾线方程为???1?ka/x????时???1，因此相轨迹汇合到水平线??0时???，当x当x???ka并趋向无穷远处。 x?。当x??ka时??0，在III区，等倾线方程为???1?ka/x????时???1，因此相轨迹汇合到水平线??0时???，当x当x??ka并趋向无穷远处。 x??z??kz?0。在II区，作变量替换z?x?T，系统方程变为?z奇点z＝0（x＝－T）是稳定的焦点。
IIIII?xI??kax-Txx=-ax=a
4
当T 当T>a时，I区和III区的相轨迹进入II区，但是II区的奇点x＝－T在I区，因此相轨迹将在I区和II区循环，形成极限环。 6-5 如图所示非线性系统中，继电特性输出幅值M=4.7。 （1）如果继电器特性的a=0，求系统的自持振荡周期和振幅。 （2）a为何值时，系统无自持振荡？ r(t)?x(t)?Ma1s(s?1)(2s?1)题6-5图 y(t) 解： 设正弦输入信号的幅值为A。死区继电器特性描述函数为： N(A)?4Ma1?()2?AA(A?a) Y(iω)N(A)P(iω)，产生?R(iω)1?N(A)P(iω)其负倒描述函数为实数。系统频率特性 自持振荡的条件是1?N(A)P(i?)?0，即P(i?)??1/N(A)。因此分析系统自持振荡就是确定P(i?)和?1/N(A)的交点。 线性部分的频率特性为 P(i?)?11? 2i?(i??1)(2i??1)i?(1?2??3i?) 5
广西大学自动控制原理习题答案(本科)第6章
