第一章 行列式
性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论 如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零。
性质3 行列式的某一行（列）中所以的元素都乘以同一个数，等于用数乘以此行列式。第行（或者列）乘以，记作
(或
)。
推论 行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。第行（或者列）提出公因子，记作
(或
)。
性质4 行列式中如果两行（列）元素成比例，此行列式等于零。
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第列的元素都是两数之和，则等于下列两个行列式之和：
=
性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。
定义 在阶行列式，把子式，记作
；记
元
所在的第行和第列划去后，留下来的 ，
叫做
元
的代数余子式。
阶行列式叫做
元
的余
引理 一个阶行列式，如果其中第行所有元素除的乘积，即
元外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式
定理3 (行列式按行按列展开法则) 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即
或
推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。
范德蒙德行列式
克拉默法则
①
如果线性方程组①的系数行列式不等于零，即
，
那么，方程组①有唯一解 其中是把系数行列式矩阵中第列的元素
用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即
定理4 如果非齐次线性方程组的系数行列式定理
定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式定理
如果
，则它的系数行列式必为零
第二章 矩阵级其运算
定义1 由
个数
排成的行列的数表，称为行列矩阵；
，则非齐次线性方程组一定有解，且解是唯一的。
如果非齐次线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。
以数为元的矩阵可简记作或 矩阵也记作 。
行数和列数都等于的矩阵称为阶矩阵或阶方阵。阶矩阵也记作。 特殊定义：
两个矩阵的行数相等，列数也相等时，就称它们是 同型矩阵 同型矩阵和的每一个元素都相等，就称两个矩阵相等， 特殊矩阵
阶单位矩阵，简称单位阵。特征：主对角线上的元素为，其他元素为；
；元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作；注意不同型的零矩阵是不同的。
对角矩阵，特征：不在对角线上的元素都是0，记作
定义2 矩阵的加法 设有两个
矩阵
和
，那么矩阵与的和记作
，规定为
注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算； 矩阵加法满足运算律（设（i.） （ii.）
矩阵）
线性代数-考研笔记
