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3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标：1．会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式． 2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运 学习重点：会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式 学习难点：能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换 一．知识导学：
αα
(1)S2α：sin 2α＝__________，sin cos ________________ ；
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(2)C2α：cos 2α＝ _____________ ＝______________ ＝ ______________ ； (3)T2α：tan 2α＝ __________________ . 二．探究与发现
【探究点一】 二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导
问题1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根
据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式．你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？试一试？
问题2 根据同角三角函数的基本关系式sinα＋cosα＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？
【探究点二】 余弦的二倍角公式的变形形式及应用
二倍角的余弦公式cos 2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα变形较多，应用1－cos 2α1＋cos 2α1－cos α222α灵活．其中sinα＝，cosα＝称作降幂公式，＝sin，
22221＋cos α2α＝cos称作升幂公式．这些公式在统一角或函数名时非常有用．
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练习1：函数f(x)＝3sin xcos x＋cosx－的最小正周期是________．
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【探究点三】 三倍角公式的推导
因为3α＝2α＋α，可以借助二倍角公式推导出三倍角公式．请完成三倍角公式的证明：
(1)sin 3α＝3sin α－4sin3
α；(2)cos 3α＝4cos3
α－3cos α.
【典型例题】
例1 求下列各式的值：(1)cosπ5122
12cos12π； (2)3－3cos15°.
跟踪训练1 求值：(1)cos 20°·cos 40°·cos 80°； (2)tan 70°·cos tan 20°－1)．
例2 求证：3－4cos 2A＋cos 4A3＋4cos 2A＋cos 4A＝tan4
A.
跟踪训练2 化简：1＋sin 2θ－cos 2θ1＋sin 2θ＋cos 2θ. 2
10°·(3百度文库 - 让每个人平等地提升自我
45π7πsin 2x－2sinx?π?例3. 若cos?－x?＝－， πcos 2x?π?5 跟踪训练3 已知sin?－x?＝，0 4π??4?13?cos?＋x? ?4? 三、巩固训练： sin 3αcos 3α1．化简：－等于 sin αcos αA．2 2．sin 4 2 ( ) D．－1 B．1 1 C． 2（ ） π4π －cos等于 1212 B．－ 1 A．－ 23 21 C． 2 tan °3. ＝________. 1－° 2?π?4．已知cos?x－?＝，则sin 2x 4?10? 3 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 四、课堂小结： 1．对“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是3ααααα2·α 2α的二倍；3α是α的二倍；是的二倍；是的二倍；＝(n∈N*)． 224362n2n＋12．二倍角的余弦公式的运用 在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形式： 1＋cos 2α2222 ①1＋cos 2α＝2cosα，②cosα＝1－cos 2α 2 4 2，③1－cos 2α＝2sinα，④sinα＝
高中数学3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式学案新人教A版必修4
