圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第11章曲线积分与曲面积分11.1复习笔记一、对弧长的曲线积分1．对弧长的曲线积分的概念与性质（1）概念?
L称为积分弧段。（2）性质①性质l设α、β为常数，则L
f(x,y)ds?lim?f??i,?i??si
??0
i?1
n
???f(x,y)??g(x,y)?ds???L
L
f(x,y)ds???g(x,y)ds
L
②性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2，则?
③性质3L
f(x,y)ds??f(x,y)ds??f(x,y)ds
L1
L2
设在L上f（x，y）≤g（x，y），则??f(x,y)ds??特别地，有L
g(x,y)ds
1/171圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台??f(x,y)ds???|f(x,y)|ds
2．对弧长的曲线积分的计算法（1）定理设f（x，y）在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为?x??(t)
,(??t??)?
?y??(t)
若φ（t）、ψ（t）在[α，β]上具有一阶连续导数，且φ′2（t）＋ψ′2（t）≠0，则曲线积分?Lf(x,y)ds存在，且?L
f(x,y)ds??f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt(???)
??（2）曲线弧L的计算公式①若曲线为x＝t，y＝ψ（t）（x0≤t≤X），则?L
f(x,y)ds??f[x,?(x)]1???2(x)dx?x0?X?x0
x
②若曲线为x＝φ（y）（y0≤y≤Y），则?L
f(x,y)ds??f[?(y),y]1???2(y)dy?y0?Y?y0
Y
③若曲线为x＝φ（y），y＝ψ（t），z＝ω（t）（α≤t≤β），则??
f(x,y,z)ds??f[?(t),?(t),?(t)]??2(t)???2(t)???2(t)dt(???)
??二、对坐标的曲线积分1．对坐标的曲线积分的概念与性质2/171圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台（1）概念P??,???x??P(x,y)dx?lim?L
?0
i?1
i
i
L
?0
i?1
i
i
n
i
Q??,???y??Q(x,y)dy?lim?其中P（x，y）、Q（x，y）称为被积函数，L称为积分弧段。（2）性质①性质l设L
1
i
α2
与β1
为常L
数，则???F(x,y)??F(x,y)??dr????F(x,y)?dr???
②性质2F2(x,y)?dr。若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧L1和L2，则?F(x,y)?dr??L
L1
F(x,y)?dr??F(x,y)?dr
L2
③性质3设L是有向光滑曲线弧，L－是L的反向曲线弧，则?L?
F(x,y)?dr???F(x,y)?dr
L
2．对坐标的曲线积分的计算法（1）定理设P（x，y）与Q（x，y）在有向曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为?
?x??(t)
?y??(t)
当参数t单调地由α变到β时，点M（x，y）从L的起点A沿L运动到终点B，若φ（t）与ψ（t）在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且φ′2（t）＋ψ′2（t）≠0，则曲线3/171圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台积分?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy存在，且?
c
P(x,y)dx?Q(x,y)dy???P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)?dt
??（2）坐标曲线积分的计算公式①若曲线方程为y＝ψ（x），则?
P(x,y)dx?Q(x,y)dy?P[x,?(x)]?Q[x,?(x)]?(x)?dx???
b
?a
其中下限a对应L的起点，上限b对应L的终点。②若曲线方程为参数方程x＝φ（y），y＝ψ（t），z＝ω（t），则 ?P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz
???
???P[?(t),?(t),?(t)]?(t)?Q[?(t),?(t),?(t)]?(t)?R[?(t),?(t),?(t)]?(t)?dt
???其中下限α对应曲线的起点，上限β对应曲线的终点。3．两类曲线积分之间的联系（1）平面曲线弧L上的两类曲线积分之间的联系??Pdx?Qdy??
L
(Pcos??Qcos?)ds
其中α（x，y）与β（x，y）为有向曲线弧L在点（x，y）处的切向量的方向角。（2）空间曲线弧Γ上的两类曲线积分之间的联系?
?
Pdx?Qdy?Rdz?
?
?
(Pcos??Qcos??Rcos?)ds
其中α（x，y，z）、β（x，y，z）、γ（x，y，z）为有向曲线弧Γ在点（x，y，z）处的切向量的方向角。三、格林公式及其应用4/171圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台1．格林公式??Q?P???dxdy??Pdx?Qdy????L?x?y?D?其中L是D的取正向的边界曲线。注：设闭区域D的面积为A，则A=
1
xdy?ydx。??L22．平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分?LPdx?Qdy与路径无关的充分必要条件是?P/?y＝?Q/?x。3．二元函数的全微分求积（1）定理设区域G是一个单连通域，若函数P（x，y）与Q（x，y）在G内具有一阶连续偏导数，则P（x，y）dx＋Q（x，y）dy在G内为某一函数u（x，y）的全微分的充分必要条件是?P/?y＝?Q/?x在G内恒成立。推论：设区域G是一个单连通域，若函数P（x，y）与Q（x，y）在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分?LPdx?Qdy在G内与路径无关的充分必要条件是：在G内存在函数u（x，y），使du＝Pdx＋Qdy。（2）全微分方程①定义：du（x，y）＝P（x，y）dx＋Q（x，y）dy；②全微分方程充分必要条件：?P/?y＝?Q/?x；③全微分方程的通解u(x,y)??(x,y)?x0,y0?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?C5/171
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