将军饮马
“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
模型1 定直线与两定点 模型 Al
B当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PA+PB最小。 B Al 当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使
PA+PB最小。
A
B l当两定点A、B在直线l同侧
时，在直线l上找一点P，使
PA?PB最大。
A l
B当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使PA?PB最大。
作法
Al
P
B
连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点。
BA
l P B'作点B关于直线l的对称点
B′，连接AB′交直线于点P，点P即为所求作的点。
AB Pl连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点。 A
B'Pl
B作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。
1
结论
PA+ PB的最小。
PA+PB的最小值为AB′。 PA?PB的最大值为AB。 PA?PB的
最大值为AB′。
AB ABP l 当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使PA?PB最小。 lPA?PB的连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点P，点P即为所求作的点。 最小值为0。 模型实例
例1．如图，正方形ABCD的面积是12，△ABE是等边三角形，点E 在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，则PD+PE的最小值为 。 AD
P E
CB
例2．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P为CD 上的动点，则PA?PB的最大值是多少？
D
P BC
热搜精练
1．如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB-90°，D是BC边的中点，E是AB边 上一动点，则EC+ED的最小值是 。
A E
BC D
2
A
2．如图，点C的坐标为（3，y），当△ABC的周长最短时，求y的值。
y
A（3，0）
x OB（2，0）
3．如图，正方形ABCD中，AB-7，M是DC上的一点，且DM-3，N是AC上的一 动点，求DN?MN的最小值与最大值。
3
ANDMBC
初中数学：将军饮马问题习题
