备战中考数学专题复习反比例函数的综合题附详细答案
一、反比例函数
1．已知反比例函数y= 的图象经过点A（﹣ （1）试确定此反比例函数的解析式；
（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由； （3）已知点P（m，
m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴
，1）．
的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是 ，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2
n+9的值．
，解得k=﹣
，
【答案】（1）解：由题意得1= ∴反比例函数的解析式为y=﹣ 在Rt△AOC中，OC= ∴OA=
（2）解：过点A作x轴的垂线交x轴于点C．
，AC=1，
=2，∠AOC=30°，
∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB， ∴∠AOB=30°，OB=OA=2， ∴∠BOC=60°．
过点B作x轴的垂线交x轴于点D． 在Rt△BOD中，BD=OB?sin∠BOD= ∴B点坐标为（﹣1， 将x=﹣1代入y=﹣ ∴点B（﹣1，
）， 中，得y=
，
的图象上 ，OD= OB=1，
）在反比例函数y=﹣
（3）解：由y=﹣ ∵点P（m，
得xy=﹣
，
的图象上，其中m＜0，
m+6）在反比例函数y=﹣
∴m（ ∴m2+2
m+6）=﹣ m+1=0，
，
∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）． ∵△OQM的面积是 ， ∴ OM?QM= ， ∵m＜0，∴mn=﹣1， ∴m2n2+2 ∴n2﹣2 ∴n2﹣2
mn2+n2=0， n=﹣1， n+9=8．
，1），运用待定系
【解析】【分析】（1）由于反比例函数y= 的图象经过点A（﹣
数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；（3）把点P（m，
m+6）代入反比例函数的
解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是 ，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2﹣2
n+9的值．
2．已知一次函数y=kx+b与反比例函数y= 交于A（﹣1，2），B（2，n），与y轴交于C点．
（1）求反比例函数和一次函数解析式；
（2）如图1，若将y=kx+b向下平移，使平移后的直线与y轴交于F点，与双曲线交于D，E两点，若S△ABD=3， 求D，E的坐标．
（3）如图2，P为直线y=2上的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线AB于Q，交双曲线于R，若QR=2QP，求P点坐标．
【答案】（1）解：点A（﹣1，2）在反比例函数y= 的图象上， ∴m=（﹣1）×2=﹣2，
∴反比例函数的表达式为y=﹣ ，
∵点B（2，n）也在反比例函数的y=﹣ 图象上， ∴n=﹣1， 即B（2，﹣1）
把点A（﹣1，2），点B（2，﹣1）代入一次函数y=kx+b中，得 解得：k=﹣1，b=1，
∴一次函数的表达式为y=﹣x+1，
答：反比例函数的表达式是y=﹣ ，一次函数的表达式是y=﹣x+1； （2）解：如图1， 连接AF，BF，
，
∵DE∥AB，
∴S△ABF=S△ABD=3（同底等高的两三角形面积相等）， ∵直线AB的解析式为y=﹣x+1， ∴C（0，1）， 设点F（0，m）， ∴AF=1﹣m，
∴S△ABF=S△ACF+S△BCF= CF×|xA|+ CF×|xB|= （1﹣m）×（1+2）=3， ∴m=﹣1， ∴F（0，﹣1），
∵直线DE的解析式为y=﹣x+1，且DE∥AB， ∴直线DE的解析式为y=﹣x﹣1①． ∵反比例函数的表达式为y=﹣ ②， 联立①②解得， （3）解：如图2
或
∴D（﹣2，1），E（1，﹣2）；
由（1）知，直线AB的解析式为y=﹣x﹣1，双曲线的解析式为y=﹣ ， 设点P（p，2），
∴Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣ ）， PQ=|2+p+1|，QR=|﹣p﹣1+ |， ∵QR=2QP，
∴|﹣p﹣1+ |=2|2+p+1|，
解得，p= ∴P（ （
或p= ，2）或（ ，2）．
，
，2）或（
，2）或
【解析】【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值，从而可得到反比例函数的解析式；把点A和点B的坐标代入一次函数的解析式可求得一次函数的解析式；
（2）依据同底等高的两个三角形的面积相等可得到S△ABF=S△ABD=3，再利用三角形的面积公式可求得点F的坐标，即可得出直线DE的解析式，即可求出交点坐标；
（3）设点P（p，2），则Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣ ），然后可表示出PQ与QR的长度，最后依据QR=2QP，可得到关于p的方程，从而可求得p的值，从而可得到点P的坐标.
3．如图，点P（
+1，
﹣1）在双曲线y= （x＞0）上．
（1）求k的值；
（2）若正方形ABCD的顶点C，D在双曲线y= （x＞0）上，顶点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上，求点C的坐标． 【答案】（1）解：点P（ 将x= k=2；
，y=
，
）在双曲线
上，
代入解析式可得：
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