交大硕士研究生必修基础数学-数值分析-插值与拟合方法

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第5章 插值与拟合方法

插值与拟合方法是用有限个函数值f(xi),(i?0,1,???,n)去推断或表示函数f(x)的方法，它在理论数学中提到的不多。

本章主要介绍有关解决这类问题的理论和方法，涉及的内容有多项式插值，分段插值及曲线拟合等。对应的方法有Lagrange插值，Newton插值，Hermite插值，分段多项式插值和线性最小二乘拟合。

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1 实际案例

2 问题的描述与基本概念

先获得函数（已知或未知）y?f(x)在有限个点x0,x1,???xn上的值 xx0 x1 … xn y y0yny1 … 由表中数据构造一个函数P(x)作为f (x) 的

近似函数，去参与有关f (x)的运算。 科学计算中，解决不易求出的未知函数的问题主要采用插值和拟合两种方法。

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1）插值问题的描述

已知函数y?f(x)在[a,b]上的n+1个互异点处的函数值yi?f(xi)，求f (x) 的一个近似函数P (x)，满足

P(xi)?f(xi)(i?0,1,???,n) （5.1）

x0,x1,???xn? P (x) 称为f (x)的一个插值函数; ? f (x) 称为被插函数;点xi为插值节点; ? P(xi)?f(xi)(i?0,1,???,n)称为插值条件; ? R(x)?f?x??P(x)称为插值余项。

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当插值函数P (x)是多项式时称为代数插值（或多项式插值）。 一个代数插值函数P (x)可写为

P(x)?Pm(x)??akxkk?0m(ak?R)

若它满足插值条件（5.1），则有线性方程组

?a0?a1x0?a2x02????amx0m?y0?2ma?ax?ax????ax?01121m1?y1?? （5.2）

2m??a0?a1xn?a2xn????amxn?yn

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当m=n，它的系数行列式为范德蒙行列式

11D??1x0x1?xnx02x1?2xn2????x0nx1??(xi?xj)?0?j?i?n

nxnn因为插值节点互异，D?0，故线性方程组（5.2）有唯一解，于是有

定理5.1 当插值节点互异时，存在一个满足插值条件P(xi)?f(xi)(i?0,1,???,n)的n次插值多项式。

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