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第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、汇交力系合成与平衡的几何法 汇交力系：是指各力的作用线汇交于同一点的力系。若汇交力系中各力的作用线位于同一平面内时，称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。 1、平面汇交力系的合成
先讨论3个汇交力系的合成。设汇交力系F1，F2，F3汇交于O（图1），由静力学公理3：
???????力的平行四边形法则（力的三角形）可作图2，说明(F1,F2,F3)?(F)如图和图所示，其????F?F?F?F中123
O?F1?F2?F1O?F3?FO?F?F12?F3?F2
??FF讨论：1）图2中的中间过程12可不必求，去掉12的图称为力多边形，由力多边形求合力
大小和方向的方法称为合力多边形法则。
2）力多边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折线链，合力矢是封闭边，合力矢的方向是从第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。 3）上述求合力矢的方法可推广到几个汇交力系的情况。
结论：汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过汇交点，合力的大小和方向即：
??F??Fi用力多边形法则求合力的大小和方向的方法称为合成的几何法。
2．平面汇交力系的平衡
??Fn?1Fn?2?Fi?Fn?F1?F2
???(F,F,?F设作用在刚体上的汇交力系12n)为平衡力系，即 ???(F1,F2,?Fn)?0
n?1??????先将F1,F2,?Fn?1由力多边形法合成为一个力FN?1，（FN?1??Fi）
i?11
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?????(F1,F2,?Fn)?(FN?1,Fn)?0
由静力公理1，作用在刚体上二力平衡的必要充分条件是：FN?1与Fn等值，反向，共线，
???????即FN?1?Fn， 可得FN?1?Fn?0，或?Fi?0
结论：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力的乖量和为零，用几何法表示的平衡条件是
??Fi?0，力多边形自行封闭。
?例1． 已知：简支梁AB，在中点作用力F，方向如图，求反力
AC?F??45BFAA?C?F45?B?FB?F??FA?FB
解：1。取研究对象AB梁 2．受力分析如图
3．作自行封闭的力三角形如图 tg??4．求解
1 2FAFBF?? ???sin(90??)sin45sin(45??)Fsin45?Fsin(45???)FA? FB?
cos?cos?例2．已知：支架ABC，A、B处为铰支座，在C处用销钉连接，在销上作用P?20kN，
不计杆自重。求：AC和BC杆所受的力。
A?FAC30?CBP解：1。取研究对象销钉C 2．受力分析
3．作自行封闭的力多边形。 4．解三角形
30??FBCC?P?P30??FBC?FAC
FACFBCP?? ???sin30sin90sin60§2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法
1． 力在坐标轴上的投影 2
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B?FAOaFx??ab??x
Fx?Fcos???? ?
Fy?Fcos???Fcos??F?i?力矢F与各投影有以下关系：
???O?F O?Oxi?Oyj 此式称为力的解析式
2．合力投影定理
若某平面汇交力系由几个力组成，则合力
????F??Fi?(?Fix)i?(?Fiy)j
???Fxi?Fyj
Fx??Fix??于是 ?
Fy??Fiy??结论：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上的投影的代数和，这称为合力投影定
理。
合力的大小：F?(?Fix)2?(?Fiy)2 *
合力的方向：cos??2．平衡
?FFix cos???FFiy
?由几何法知。汇交力系平衡 ?Fi?0
???Fix?0由式（*）知?
F?0???iy平面汇交力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系中各力在直角坐标系中每一轴上的投影的代数和都等于零。
上式称为平面汇交力系的平衡方程，两个方程求两个未知量。
例3. 已知：在铰拱不计拱重，结构尺寸为a，在D点作用水平力P，不计自重，求支?@、C的约束反力。
3
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yBD?PAB?FBB??FBD?PxAaaC?FA?CFC 解：分析易知OAB是二力杆件， 1．以BCD为研究对象； 2．受力分析 3．列方程，求解
?Fix?0 ?P?FBcos45??FCcos45??0
??Fcos45?Fsin45?0 F?0CB?iy求得 FB?22P FC??P 22也可在Bx?y?系中。
?Fiy??0 ?FC?FBcos45??0
?Fix??0 FB?Psin45??0
可知：选择合适的坐标系，可以简化计算。
例4．已知：P?20kN，不计杆重和滑轮尺寸，求：杆AB与BC所受的力。
AC30?30?30P?B?FAB30?30?30?B?FBC解：1、研究对象：滑轮 2．受力分析 3．列方程求解
??FTF
?Fix?0 ?FBA?FBCcos30??FTsin30??0 ?0 ?FBCsin30??F1cos30??F?0
?Fiy其中 F?FT?P
解得 FBC??74.64kN（压） FAB?54.64kN（拉）
小结：从刚才的解题中，我们可以看出，几何法解题直观、简单、容易掌握，力系中各力之4
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间的关系在力多边形中一目了然。但是若力多与三个时，力多边形的几何关系就非常复杂。而且由于按比例尺作图，因此只能反映各量（力、尺寸、角度）的某些特定值之间的关系，不能反映各量之间的函数关系。只要改变一个量，就要重新作图。因此在实际中，我们更多的是采用解析法来解题。
§2.2 平面力对点之矩的概念及计算
平面中力矩的概念
o d A （一）、力对点的矩的定义
?FB 力使刚体绕O点转动的强弱程度的物理量称为力对O点的矩。用MO(F)表示，其定义式为MO(F)=±Fd
其中：点O称为矩心，d称为力臂。力矩的正负号表示力矩的转向，规定力使物体绕矩心逆时针转动取正，反之取负。力矩的单位为：牛顿·米（N ·m）。 由图可知：MO(F)=±△ABC的面积 （二）、平面汇交力系的合力矩定理
定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点的矩等于各个分力对同一点之矩的代数和。即
y?Y??mo(R)??mo(Fi)?F?XxyoxA 利用合力矩定理，可以写出力对坐标原点的矩的解析表达式，即
mo(F)?mo(Y)?mo(X)?Y?x?X?y
例1支架如图所示，已知AB=AC=30cm,CD=15cm,F=100N,
??30?。求 对A、B、C三点之矩。
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平面汇交力系和平面力偶系
