近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考下面就平面.察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如 向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述：一、 重心问题
三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重心”就在中线上.
例1 已知O是平面上一 定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
，则P的轨迹一定通过△ABC
的 （ ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
解析：如图1，以AB，AC为邻边构造平行四边形ABCD，E为对角线的交点，根据向量
平行四边形法则 ，因为，
所以，上式可化为，E在直线AP上，因为AE为的中线，所以选 C.
点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合. 二、 垂心问题
三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上. 例2 P是△ABC所在平面上一点，若是△ABCP，则. ） 的（．
B．内心 CA．外心 ．重心 D．垂心
解析:由. 即. 则，
所以P为的垂心. 故选D.
点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合. 三、 内心问题
三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上. 例3 已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足
，则动点P一定过△ABC的〔 〕.
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 解析：如图2所示，因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量
由菱形的基本性质，则原式可化为又 ， 分别为 ，
B.
，则知选平分AP中，，那么在平分AP知．
是什么？想想一个非零向点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、量除以它的模不就是单位向量？
又能迅速地将它们迁向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，. 移到一起，这道题就迎刃而解了 外心问题四、三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线. 线上
.
〕 是△ABC的〔例4 已知O是△ABC 内的一点，若，则O C.外心 D. B.垂心 A．重心 内心
解析：，由向量模的
C.
，选故 是 的外心的三顶点距离相等定义知到.点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合
三角形的“四心”与平面向量
向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。三角形的“四心”（外心、内心、重心、垂心）是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特殊的性质。在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。这就需要我们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。
与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有：
ABAC???????,0)(?必平分∠BAC，该向量必通过△ABC ①设，则向量的内心; ACABACAB???????0,(?) 的邻补角BAC必平分∠，则向量设 ②ACAB???????0,)?(ABC该向量必通过△BC，设③ ，则向量必垂直于边
ACAB．
CcosABBACcos 的垂心BCAC?AB 的重心的中点，通过△ABC④ △ABC一定
过中222OOC??OA?OB 是△ABC的外心点⑤
0?OA?OBOC??O 的重心⑥ 点 是△ABC?OOAOC??OA?OBOB?OC? 点是△ABC的垂心⑦
0OCc??OA??b?OB??aO (是△ABC点的内心 )
其中a、b、⑧ c为△ABC三边OHOGGOH 、重心、垂心的外心共线，即∥⑨ △ABCO ABCI为△的
内心，G为△ABC的重心，，⑩ 设所在平面内任意一点，为△ABCOCcbOB?aOA?1)OC?OG?OB?(OA?OI 则有
3c?b?a+ cyayYX+X+X+Y+YaX+ bX+ cX+ by ）I内心（ ，G并且重心（ ， ）
a+b+ca+b+c33
O是平面上不共线的三点，动、BC（例1：2003年全国高考题）、是平面上一定点，
CAABCBABBCCA
AACAB
????)OP?OA?(???0?,， ）满足ABC则动点P点P的轨迹一定通过△的（ ，
ACAB
）内心（A）外心 （BF
A （D）垂心（C）重心 C E
T ACAB?AF?,AE 都是单位向量事实上如图设
B 故选答案 易知四边形AETF是菱形
ACABB
O所在平面内一点，如果为△2005（年北京市东城区高三模拟题）ABC例2：
OAOC?OBOB??OC?OA? 必为△ABC的（）O，则 DCBA（）外心 （）内心 （）重心 （）垂心??OB0????OCOA????OAOBOBOC(?)OB0CACA 实事上⊥OBD
故选答案．
所在平面内一点，且满足：已知例3O为三角形ABC222222
AOOBC?CAOC ），则点O是三角形ABC的（
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心OA?OC?OC?OA?OB?OBD 故选答案 事实上由条件可推出
O CB、例4：设是平面上不共线的三点，是平面上一定点，A、ACAB????)?OP?OA?(???,0
的轨迹一定通满足动点P，则动点，P
CACcosABcosB ） 过△ABC
的（ ）垂心B）内心 （C）重心 （D（A）外心 （ACAB ??
0?BCBC?)?(?BC(??)? 故选答案事实上D足 CBABcosACcos，条件满例5、已知向量0O?OO?POP?,OP,OPPP313122，求证：是正三角形． PPP△1|??|OP|OP|?|OP|321312
，是的分析 对于本题中的条件容易想到，点P△PP1?|OP|?|?|OP|OP|O312321 PPP△表明，点外心，而另一个条件 是的重心．0?OP?OP?OPO321321
故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一 年高考中有一道考题，原题是：若一三角形的重心与外定是正三角形．在1951
接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？与本题实质是相同的． 显然，本题中的条件可改为．|OP|OP?|OP|OP|?||?1||OP?|?|OP|332211
高考原题
满、C是平面上不共线的三个点，动点P 例6、O是平面上一定点，A、B 足ABAC??则 ） ． 的P的轨迹一定通过△ABC（ ).?OPO,0?[???)??A(|CA||BA|
．内心 C．重心 D．垂心 A．外心 BACABACAB?，设，显然已知等式即分析 ?,AFAP?(?AE)?
都是单位向量，以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故为APAFAE,
AC||AB|AB|||AC||
的平分线，选． B?ABC
?ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H例7、，OH?m(OA?OB?OC)，
则实数m = ．
分析：本题除了利用特殊三角形求解外，纯粹利用向量知识推导则比较复杂，
更加重要的一点是缺乏几何直观．解法如下，由已知，有向量等式，0?AHBC
将其中的向量分解，
向已知等式形式靠拢，有，将已知0?OB)OA)(OC?(OH?
代入，有，即
0)?(OC?OBOA?OB?OC)?OA][m(
22?ABC，由于由是外心，得，O0BC?(m?1)OA0BC?m?1)OA(OC?OB)?(m
是任意三角形，则不恒为０，故只有恒成立． BCOA1?m
平面向量四心问题最全
