16. (本小题满分14分)
解答 (1) 因为DA，DC，DD1两两垂直，所以分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
因为棱长为 3, A1E＝CF＝1，
则D(0,0,0)，A(3,0,0)，B(3,3,0)，D1(0,0,3)，C1(0,3,3)， E(3,0,2)，F(0,3,1)．
→→
所以AC1＝(－3,3,3)，D1E＝(3,0,－1)， ···········3分
→→
－9－3AC1·D1E230→→
所以cos〈AC1，D1E〉＝ ＝ ＝－，·········6分
→→159＋9＋9·9＋1|AC1||D1E|230
所以异面直线 AC1与 D1E 所成角的余弦值是. ···········7分
15(2)平面A1EBB1的法向量是B1C1?(?3,0,0) ···································8分 设平面 BED1F的法向量是n＝(x，y，z)，
→→→→又因为BE＝(0，－3,2)，BF＝(－3,0,1)，n⊥BE，n⊥BF， →→
所以n·BE＝0，n·BF＝0，
??－3y＋2z＝0，即?令z＝3，则x＝1，y＝2，所以n＝(1,2,3)．···········11分 ?－3x＋z＝0，?
所以cos?n,B1C1??n?B1C1|n||B1C1|??31， ···········13分 ??31?4?914所以二面角B1-EB-F的余弦值是
17．(本小题满分14分)
14 ·······························14分 14解：⑴以A为坐标原点，以AB,AD所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系. 所以A?0,0?,C?4,2?,B?4,0?,F?2,0?,所以直线FC为x?y?2?0 ……………2分 因为抛物线是以AB 为对称轴， 设抛物线的方程为y2?2px?p?0?， 因为点C在抛物线上，所以p?
12，所以y?x ………………………4分 2
2因为PE?t，所以Pt2,t,G?t?2,t?，所以f?t???t?t?20?t?⑵因为PE?AB，PG//AB，所以四边形PEFG的面积
???2? …7分
111?EF?PG?PE??2?t2?t?2?t2???t3?t2?2t ………………9分 222123设g?t???t?t?2t，由g??t???3t2?t?2?0，解得：t?1 ……11分
2S?
t ?0,1? + ↗ 1 0 极大值 源:Z_xx_k.Com][来?1,2? - ↘ g??t? g?t? 3
所以当t=1时，g(t)取极大值且是最大值g(t)max＝ ……………………13分
2答：当t?1m时，四边形PEFG面积取得最大值为（注：不答扣一分）
18．(本小题满分16分)
c241
解：（1）由题意，得＝，2＋2＝1，解得a2＝6，b2＝3． ·······················2分
a2abx2y2
所以椭圆的方程为＋＝1． ··········································3分
63（2）椭圆C的右焦点F(3，0)．
设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，
|－3k |所以2＝2，解得k＝±2，所以切线方程为y＝±2(x－3)． ·················5分
k＋1 把切线方程 y＝2(x－3)代入椭圆C的方程，消去y得5x2－83x＋6＝0． 83
设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝．
5
28366 由椭圆定义可得，PQ＝PF＋FQ＝2a－e( x1＋x2)＝2×6－×＝．········7分
25563
所以，△OPQ的面积为． ·······················8分
5 ②解法一：(i)若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x＝2或x＝－2． 当x＝2时，P (2，2)，Q(2，－2)． →→因为OP·OQ＝0，所以OP⊥OQ．··········9分
当x＝－2时，同理可得OP⊥OQ。
32m ……………………14分 2OP·OQ 由等面积法可知 ＝2 ·································10分
PQ
(ii) 若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0． 因为直线与圆相切，所以
|m| 1＋k2
＝2，即m2＝2k2＋2． ··················12分
将直线PQ方程代入椭圆方程，得(1＋2k2) x2＋4kmx＋2m2－6＝0.
2m2－64km
设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝－，xx＝．··········13分
1＋2k2121＋2k2→→因为OP·OQ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2 2m2－64km2＝(1＋k)×(－2＋km×2)＋m．
1＋2k 1＋2k
2
→→将m2＝2k2＋2代入上式可得OP·OQ＝0， ··················15分 OP·OQ 所以OP⊥OQ．由等面积法可知 ＝2 为定值 ··················16分
PQ2解法二：设切点T(x0，y0)，则其切线方程为x0x＋y0y－2＝0，且x20＋y0＝2． (i)当y0＝0时，则直线PQ的直线方程为x＝2或x＝－2．
当x＝2时，P (2，2)，Q(2，－2)． →→因为OP·OQ＝0，所以OP⊥OQ．
OP·OQ 当x＝－2时，同理可得OP⊥OQ． 由等面积法可知 ＝2为定值
PQ
··································10分 (ii) 当y0≠0时，
x＋y0y－2＝0，??x022222由方程组?xy消去y得(2x20＋y0)x－8x0x＋8－6y0＝0． ?6＋3＝1，?
8－6y28x00
设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝，x1x2＝． ················12分
22222x0＋y02x0＋y0(2－x0x1)( 2－x0x2)－8(x02＋y2→→0)＋16
所以OP·OQ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝． 2y0222y(2x＋y)
0
0
0
→→2因为x2OQ＝0，所以OP⊥OQ．·······················15分 0＋y0＝2，代入上式可得OP·综上所述，OP⊥OQ．
OP·OQ
由等面积法可知 ＝2为定值 ·······················16分
PQ
19．(本小题满分16分) 解析： (1) 当① 当n=2时，当n=3时，当n=4时，②由此猜想：证明如下： ①当n=1时，
，成立；……………………………………………………4分
,
. ……………………………………7分
即当n=k+1时，猜想也成立。 由①②得，猜想成立，即(2) 当
时，即
知不等式成立。…………………………………10分
)时，命题也成立，即
.
………………………………12分
…………………………………………………15分
即当n=k+1时，命题也成立。 由①②得，原命题成立，即当
。……………………………………16分 .(
) …………………………8分
时，即
………………………………………………………………………1分 …………………………………………………………………………2分 …………………………………………………………………………3分
②假设当n=k时，猜想也成立，即则当n=k+1时，
当n=2时，由假设当n=k(k由
20．(本小题满分16分)
xx
解：（1）当a＝1时，f(x)＝(x＋1)e，f ?(x)＝(x＋2)e，
f(1)＝2e，f ?(1)＝3e，所以切线方程为y＝3e x－e ························2分
xxx（2）因为f'(x)?e?(x?a)e?(x?a?1)e，令f'(x)?0，解得x??a?1.
列表如下. x f'(x) f(x) (??,?a?1) ? 单调减 ?a?1 0 极小值 (?a?1,??) ? 单调增 ·······················4分 所以x??a?1时，f(x)取得极小值. ·因为g'(x)?3x?2ax?b，
由题意可知g'(?a?1)?0，且??4a2?12b?0 所以3(?a?1)?2a(?a?1)?b?0，
·······················6分 化简得b??a2?4a?3， ·由??4a2?12b?4a?12(a?1)(a?3)?0，得a??所以b??a2?4a?3，?a??2223. 23??·······················7分 ?. ·
2??x32（2）因为F(x)?f(x)?g(x)?(x?a)e?(x?ax?bx)，
x2所以F'(x)?f'(x)?g'(x)?(x?a?1)e?[3x?2ax?(a?1)(a?3)]
?(x?a?1)ex?(x?a?1)(3x?a?3)
?(x?a?1)(ex?3x?a?3) ························9分 记h(x)?e?3x?a?3，则h'(x)?e?3，令h'(x)?0，解得x?ln3. 列表如下. x ln3 (??,ln3) (ln3,??) ? ? 0 h'(x) xx单调减 极小值 单调增 h(x) 所以x?ln3时，h(x)取得极小值，也是最小值，
ln3此时，h(ln3)?e?3ln3?a?3?6?3ln3?a
e2?3(2?ln3)?a?3(ln)?a?a?0. ························11分
3令F'(x)?0，解得x??a?1. 列表如下. x F'(x) 单调减 极小值 单调增 F(x) 所以x??a?1时，F(x)取得极小值，也是最小值.
?a?1?((?a?1)3?a(?a?1)2?b(?a?1)) 所以M(a)?F(?a?1)?(?a?1)e·······················13分 ??e?a?1?(a?1)2(a?2). ·
令t??a?1，则t??1，
t2记m(t)??e?t(1?t)??et?t3?t2，t??1，
t2则m'(t)??e?3t?2t，t??1. 因为?e?1??et?0，3t2?2t?5， 所以m'(t)?0，所以m(t)单调递增.
177?t·······················16分 所以m(t)??e?2???2??，所以M(a)??. ·
333
(??,?a?1) ? ?a?1 0 (?a?1,??) ?
2018-2019学年江苏省南京市六校联合体高二下学期期末联考试题 数学Word版含答案
