数列的单调性及其判定
河北省武安市邯郸学院武安分院 056300 贾书银
数列是指按照一定规律排列的一列数,这种规律体现于数列的项与项数之间的关系,我们通常用通项公式去描述它;体现于数列的项与项之间的关系,我们通常用递推公式去描述它;体现于数列的整体趋势,我们通常用极限去描述它。而为了确定某个数列是否存在极限,当然不可能将每个实数依定义一一验证,根本的办法是直接从数列本身的特征来做出判断。例如运用柯西收敛准则来判断;例如对于一个单调数列来说,如果它有界那么必然存在极限。所以能够对一个数列的单调性做出正确的判断,具有至关重要的作用。下面将对数列的单调性及其判定方法详加论述。
定义:如果数列?xn?满足xn?xn?1 n?1,2,3L则称数列?xn?为单调增加数列;如果数列?xn?满足xn?xn?1 n?1,2,3L则称数列?xn?为单调减少数列。
判定方法一:定义法
?1??1?例1 判断数列xn??1??,yn??1???n??n?解:利用均值不等式:na1a2Lan?nn?1的单调性。
a1?a2?L?an ?ai?0?
n?a?a2?L?an?或a1a2Lan??1?
n????1??n?1???1?n?1n????Q xn??1???1 ???n?1???n??????数列?xn?为单调增加数列。
n?1n1?? ??1???n?1?n?1 ?xn?1
n??n?1n?1?1???1?n?n?1??Q???1???n?2yn?n?1?????n?2?n?1?????n?2?n?2?11??1????n?1?n?2?1 yn?1?yn?yn?1?数列?yn?为单调减少数列。
判定方法二:作差法
例2 已知数列?xn?满足:x1?1,xn?1?试判断数列?xn?的单调性。
解:首先,0?x1?1?4;假设0?xk?4,则0?xk?1?4?3xk?4?12?4,
4?3xn,n?1,2,3L
所以由数学归纳法可知:任意n?N?,0?xn?4。
222其次,xn?1?xn?4?3xn?xn??4?xn??1?xn??0,所以xn?1?xn
?数列?xn?为单调增加数列。
判定方法三:作商法
例3已知数列?xn?满足:x1?1,xn?1?试判断数列?xn?的单调性。
1?3?x??n?,n?1,2,3L 2?xn?1?3?13解:显然xn?0?n?1,2,3L? xn?1??xn? ??2x??3 ?n2?xn?2xnxn?11?3?1?3???1?2???1???1,即xn?1?xn xn2?xn?2?3??数列?xn?为单调减少数列。
判定方法四:数学归纳法
例4已知数列?xn?满足:x1?2,xn?1?2?xn,n?1,2,3L 试判断数列?xn?的单调性。
解:x2?2?x1?2?2?2?x1;假设xk?xk?1,则2?xk?2?xk?1,
即xk?1?xk。由数学归纳法可知,数列?xn?为单调增加数列。
判定方法五:作差法和数学归纳法的综合运用 例5已知数列?xn?满足:x1?k, xn?1?试判断数列?xn?的单调性。
解:显然0?xn?1?1?1?2xn,n?1,2,3L
1?xnxn?2,n?1,2,3L 1?xn1?51?51?2k1?k?k21?5?k?x2?x1??k?,解得当时,x2?x1;当k?2221?k1?k或k?1?51?51?5?k?时,x2?x1。首先考虑时,x2?x1;假设xn?xn?1,则 222??x??xxn?xn?1>0,即xn?1?xn xn?1?xn??1?n???1?n?1???1?xn??1?xn?1??1?xn??1?xn?1?由数学归纳法可知:数列?xn?为单调增加数列。 同理可得:k?
1?51?5或k?时,数列?xn?为单调减少数列。 22