2006考研数学一真题及答案
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
xln(1?x). ?x?01?cosxy(1?x)(2)微分方程y??の通解是 . x(1)lim(3)
设
?是锥面
z?x2?y2(
0?z?1)の下侧,则
??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy? .
?(4)点(2,1,0)到平面3x?4y?5z?0の距离z= .
(5)设矩阵A???21??,E为2阶单位矩阵,矩阵B满足BA?B?2E,则
??12?B= .
(6)设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上の均匀分布,则
P?max{X,Y}?1?= .
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出の四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前の字母填在题后の括号内)
(7)设函数y?f(x)具有二阶导数,且f?(x)?0,f??(x)?0,?x为自变量x在x0处の增量,?y与dy分别为f(x)在点x0处对应の增量与微分,若?x?0,则
(A)0?dx??y (C)?y?dy?0
?
1
(B)0??y?dy (D)dy??y?0
(8)设f(x,y)为连续函数,则
?40d??f(rcos?,rsin?)rdr等于
0(A)
??220dx?dy?1?x2xf(x,y)dy
(B)
?220dx?1?x20f(x,y)dy
1?y20(C)
2201?y2yf(x,y)dx
(C)
?220dy?f(x,y)dx
(9)若级数
?an?1?n收敛,则级数
(A)
?an?1??n收敛 (B)
?(?1)n?1??nan收敛
(C)
?aann?1 n?1收敛
(D)
?an?an?1收敛 2n?11(10)设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数,且?y(x,y)?0.已知(x0,y0)是f(x,y)在约
束条件?(x,y)?0下の一个极值点,下列选项正确の是
(A)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0
(B)
若
fx?(x0,y0)?0,则
fy?(x0,y0)?0
(C)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0
(D)
若
fx?(x0,y0)?0,则
fy?(x0,y0)?0
(11)设α1,α2,
(A)若α1,α2,(B)若α1,α2,(C)若α1,α2,(D)若α1,α2,,αs,均为n维列向量,A是m?n矩阵,下列选项正确の是 ,αs,线性相关,则Aα1,Aα2,,αs,线性相关,则Aα1,Aα2,,αs,线性无关,则Aα1,Aα2,,αs,线性无关,则Aα1,Aα2,,Aαs,线性相关 ,Aαs,线性无关 ,Aαs,线性相关 ,Aαs,线性无关.
(12)设A为3阶矩阵,将Aの第2行加到第1行得B,再将Bの第1列の-1倍加到第2
?110???列得C,记P?010,则
???001???(A)C?P?1AP (C)C?PTAP
(B)C?PAP?1 (D)C?PAPT
(13)设A,B为随机事件,且P(B)?0,P(A|B)?1,则必有
(A)P(AB)?P(A) (B)P(AB)?P(B)
(C)P(AB)?P(A) (D)P(AB)?P(B)
2), (14)设随机变量X服从正态分布N(?1,?12),Y服从正态分布N(?2,?2且P{|X??1|?1}?P{|Y??2|?1},则
(A)?1??2 (C)?1??2
(B)?1??2 (D)?1??2
三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分) 设区域D=
??x,y?x2?y2?1,x?0?,计算二重积分I???D1?xydxdy.
1?x2?y2(16)(本题满分12分)
设数列?xn?满足0?x1??,x??1?sinxn?n?1,2,...?. 求:(1)证明limxn存在,并求之.
x??1?xn?1?xn2(2)计算lim??. x??x?n?(17)(本题满分12分) 将函数f?x??x展开成xの幂级数.
2?x?x2(18)(本题满分12分) 设函数
f?u?在?0,???内具有二阶导数,且z?f?x2?y2?满足等式
?2z?2z??0. ?x2?y2(1)验证f???u??f??u??0. u(2)若f?1??0,f??1??1,求函数f(u)の表达式. (19)(本题满分12分) 设在上半平面D?有
??x,y?y?0?内,数f?x,y?是有连续偏导数,且对任意のt?0都
f?tx,ty??t2f?x,y?.
证明: 对L内の任意分段光滑の有向简单闭曲线L,都有
?yf(x,y)dx?xf(x,y)dy?0.
L(20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组
?x1?x2?x3?x4??1??4x1?3x2?5x3?x4??1 ?ax?x?3x?bx?134?12有3个线性无关の解,
(1)证明方程组系数矩阵Aの秩r?A??2. (2)求a,bの值及方程组の通解. (21)(本题满分9分)
设3阶实对称矩阵Aの各行元素之和均为3,向量α1???1,2,?1?,α2??0,?1,1?是线性方程组Ax?0の两个解.
(1)求Aの特征值与特征向量.
(2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QAQ?A. (22)(本题满分9分)
TTT?1?2,?1?x?0??12随机变量xの概率密度为fx?x???,0?x?2令y?x,F?x,y?为二维随机变量
?4?0,其它??(X,Y)の分布函数.
(1)求Yの概率密度fY?y?. (2)F???1?,4?. ?2?(23)(本题满分9分)
?0?x?1设总体Xの概率密度为F(X,0)? 1?? 1?x?2,其中?是未知参数
0其它(0???1),X1,X2...,Xn为来自总体Xの简单随机样本,记N为样本值x1,x2...,xn中小于
1の个数,求?の最大似然估计.
参考答案 一、填空题
xln(1?x)= 2 .
x?01?cosx1?ln(1?x)x,1?cosxx2 （当x?0时）
2y(1?x)?x（2）微分方程y??の通解是y?cxe(x?0)，这是变量可分离方程.
x（1）lim（3）设?是锥面Z=x2?y2(0?Z?1)の下侧，则
??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy??2?
?x2?y2?1 补一个曲面?1:?上侧
z?1?P?x,Q?2y,R?3(z?1)
?P?Q?R???1?2?3?6 ?x?y?z∴
??????????6dxdydz（?为锥面?和平面?1所围区域）
?1??6V（V为上述圆锥体体积）
??6??2?
3而???dydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?0
?1（∵在?1上：z?1,dz?0）
（4）点(2,1,0,)到平面3x?4y?5z?0的距离d?2
d?3?2?4?13?4?5222?102??5022
(5)设A= 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA=B +2E,则|B|= .
-1 2 解:由BA=B +2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得
|B||A-E|=|2E|=4,
计算出|A-E|=2,因此|B|=2. （6）
1 9二、选择题
（7）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0，f??(x)?0，?x为自变量x在x0处の增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应の增量与微分.若?x?0，则[A]
2006考研数学一真题及答案
