极值点偏移问题专题(0)——偏移新花样(拐点偏移)
例1已知函数f?x??2lnx?x2?x,若正实数x1,x2满足f?x1?+f?x2?=4, 求证:x1?x2?2。
证明:注意到f?1?=2,f?x1?+f?x2?=2f?1?
f?x1?+f?x2?=2f?1?
2f??x?=+2x?1?0
x2f???x?=?2?2,f???1?=0,则(1,2)是f?x?图像的拐点,若拐点(1,2)也是f?x?的
x对称中心,则有x1?x2=2,证明x1?x2?2则说明拐点发生了偏移,作图如下
想到了“极值点偏移”,想到了“对称化构造”,类似地,不妨将此问题命名为“拐点偏移”,仍可用“对称化构造”来处理. 不妨设0?x1?1?x2,要证
x1?x2?2?x2?2?x1?1 ?f?x2??f?2?x1??4?f?x1??f?2?x1?
?4?f?x1??f?2?x1?F?x??f?x??f?2?x?,x??0,1?,则
F??x??f??x??f??2?x??2??2? ???2x?1????2?2?x??1??x??2?x? 1
??1?4?1?x???1?x?2?x????0,
??得F?x?在?0,1?上单增,有F?x??F?1??2??1??4,得证。 2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路 1、 极值点偏移(f??x0??0)
二次函数f?x1??f?x2??x1?x2?2x0 2、拐点偏移f???x0??0
??f?x1??f?x2??x2?2x0?x1?x1?x2?2x0f?x1??f?x2??2f?x0??x1?x2?2x0
f?x1??f?x2??2f?x0??x2?2x0?x1?x1?x2?2x0极值点偏移问题专题(1)——对称化构造(常规套路)
例1(2010天津)
已知函数f?x??xe.
?x(1)求函数f?x?的单调区间和极值;
(2)已知函数g?x?的图像与f?x?的图像关于直线x?1对称,证明:当x?1时,
2
f?x??g?x?;
(3)如果x1?x2,且f?x1??f?x2?,证明:
x1?x2?2.
点评:该题的三问由易到难,层层递进,完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法——对称化构造的全过程,直观展示如下:
?x例1是这样一个极值点偏移问题:对于函数f?x??xe,已知f?x1??f?x2?,x1?x2,
证明x1?x2?2.
再次审视解题过程,发现以下三个关键点: (1)x1,x2的范围?0?x1?1?x2?; (2)不等式f?x??f?2?x??x?1?;
3
极值点偏移问题专题
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