极值点偏移问题专题（0）——偏移新花样（拐点偏移）
例1已知函数f?x??2lnx?x2?x，若正实数x1，x2满足f?x1?+f?x2?=4， 求证:x1?x2?2。
证明：注意到f?1?=2，f?x1?+f?x2?=2f?1?
f?x1?+f?x2?=2f?1?
2f??x?=+2x?1?0
x2f???x?=?2?2，f???1?=0，则（1,2）是f?x?图像的拐点，若拐点（1,2）也是f?x?的
x对称中心，则有x1?x2=2，证明x1?x2?2则说明拐点发生了偏移，作图如下
想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设0?x1?1?x2，要证
x1?x2?2?x2?2?x1?1 ?f?x2??f?2?x1??4?f?x1??f?2?x1?
?4?f?x1??f?2?x1?F?x??f?x??f?2?x?，x??0,1?，则
F??x??f??x??f??2?x??2??2? ???2x?1????2?2?x??1??x??2?x? 1
??1?4?1?x???1?x?2?x????0，
??得F?x?在?0,1?上单增，有F?x??F?1??2??1??4，得证。 2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路 1、 极值点偏移（f??x0??0）
二次函数f?x1??f?x2??x1?x2?2x0 2、拐点偏移f???x0??0
??f?x1??f?x2??x2?2x0?x1?x1?x2?2x0f?x1??f?x2??2f?x0??x1?x2?2x0
f?x1??f?x2??2f?x0??x2?2x0?x1?x1?x2?2x0极值点偏移问题专题（1）——对称化构造（常规套路）
例1（2010天津）
已知函数f?x??xe．
?x（1）求函数f?x?的单调区间和极值；
（2）已知函数g?x?的图像与f?x?的图像关于直线x?1对称，证明：当x?1时，
2
f?x??g?x?；
（3）如果x1?x2，且f?x1??f?x2?，证明：
x1?x2?2．
点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法——对称化构造的全过程，直观展示如下：
?x例1是这样一个极值点偏移问题：对于函数f?x??xe，已知f?x1??f?x2?，x1?x2，
证明x1?x2?2．
再次审视解题过程，发现以下三个关键点： （1）x1，x2的范围?0?x1?1?x2?； （2）不等式f?x??f?2?x??x?1?；
3
极值点偏移问题专题
