高二数学必修二简单几何体导学案 蒋红伟
第一章 空间几何体
第1课时 多面体的结构特征
【学习要求】
1．认识组成我们的生活世界的各种各样的多面体； 2．认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；
3．了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别．
【学法指导】
通过直观感受空间物体，从实物中概括出多面体的几何结构特征，提高观察、讨论、归纳、概括的能力；感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学习的积极性，培养空间想象能力.
【知识要点】
1．空间几何体
（1）概念：如果只考虑物体的 和 ，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体． （2）特殊的几何体
①多面体：一般地，由若干个 围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的 ；相邻两个面的 叫做多面体的棱；棱与棱的 叫做多面体的顶点．
②旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的 叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的 ． 2．多面体的结构特征
（1）棱柱的结构特征：一般地，有两个面 ，其余各面都是 ，并且每相邻两个四边形的公共边都 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
（2）棱锥的结构特征：一般地，有一个面是 ，其余各面都是 ，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
（3）棱台的结构特征：用一个 棱锥底面的平面去截棱锥， 之间的部分叫做棱台.
【问题探究】
探究点一 空间几何体的类型
问题1 观察下列图片，你知道这图片在几何中分别叫什么名称吗？
1
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问题4 一个棱柱至少有几个侧面？一个N棱柱分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少个顶点？ 问题5 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗？
小结 在棱柱中，底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……；图1中的六棱柱用各顶点字母可表示为棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′.
探究点三 棱锥的结构特征
问题1 我们把下面的多面体取名为棱锥，据此你能给棱锥下一个定义吗？
问题2 如果将这些几何体进行适当分类，你认为可以分成哪几种类型？
问题3 观察图(2)(5)(7)(9)(13)(14)(15)(16)中组成几何体的每个面的特点，以及面与面之间的关系，你能归纳出它们有何共同特点吗？
小结 我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．
问题4 观察图(1)(3)(4)(6)(8)(10)(11)(12)中组成几何体的每个面有何共同特点？
小结 由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．
探究点二 棱柱的结构特征
问题1 我们把下面的多面体取名为棱柱，据此你能给棱柱下一个定义吗？
图1 图2
问题2 为了研究方便，我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．你能指出上面棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点吗？
问题3 棱柱上、下两个底面的形状大小如何？各侧面的形状如何？
问题2 参照棱柱的说法，棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？你能作图加以说明吗？
问题3 类比棱柱的分类，棱锥如何根据底面多边形的边数进行分类？如何用棱锥各顶点的字母表示问题1中的三个棱锥？
问题4 一个棱锥至少有几个面？一个N棱锥分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少个顶点？ 问题5 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状关系如何？ 问题6 棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？
探究点四 棱台的结构特征
问题1 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成另一个多面体，这样的多面体叫做棱台．那么棱台有哪些结构特征？
问题2 仿照棱锥中关于底面、侧面、侧棱、顶点的定义，如何定义棱台的底面、侧面、侧棱、顶点呢？ 问题3 根据三棱锥、四棱锥、五棱锥……的定义，如何定义三棱台、四棱台、五棱台……？如何用字母表示棱台？
问题4 既然棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否相互转化？ 例1 试判断下列说法是否正确：
（1）棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面； （2）棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形． 小结 概念辨析题常用方法：（1）利用常见几何体举反例；（2）从底面多边形的形状、侧面形状及它们之间的位置关系、侧棱与底面的位置关系等角度紧扣定义进行判断． 跟踪训练1 根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体名称： （1）由6个平行四边形围成的几何体．
（2）由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6个面是有一个公
2
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共顶点的三角形．
例2 如图，几何体中，四边形AA1B1B为边长为3的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱．若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征．在立体图中画出截面．
小结 认识一个几何体，要看它的结构特征，并且要结合它各面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它是由哪些几何体组成的组合体，并能用平面分割开．
跟踪训练2 若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，求棱锥的高(过顶点向底面作垂线，顶点与垂足的距离)．
4．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( )
A．1∶2
B．1∶4
C．2∶1
D．4∶1
5．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm. 6．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图________(填序号)．
【当堂检测】
1．下列说法中正确的是 ( ) A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 2．下列说法中，正确的是 ( )
A．有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是 棱台 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 3．下列说法错误的是( )
A．多面体至少有四个面 B．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形 C．长方体、正方体都是棱柱 D．三棱柱的侧面为三角形
7．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．
8．如图所示的是一个三棱台ABC—A1B1C1，如何用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．
【课堂小结】
1．在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状．
2．对几何体定义的理解要准确，另外，要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地分析，多观察实物，提高空间想象能力．
【课后作业】
一、基础过关
1．下列说法中正确的是
( )
A．棱柱的侧面可以是三角形 B．由6个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图 C．正方体的各条棱长都相等 D．棱柱的各条棱长都相等 2．棱台不具备的特点是 A．两底面相似 C．侧棱都相等 成的几何体是 A．棱柱
( )
B．侧面都是梯形
D．侧棱延长后都交于一点
二、能力提升
9．下图中不可能围成正方体的是( )
( )
3. 如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形
B．棱台
C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定
3
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3．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做 ．与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线．
4．以半圆的直径所在直线为 ，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做 ，简称球．半圆的圆心叫做球的 ，半圆的半径叫做球的 ，半圆的直径叫做球的 ．球常用表示球心的字母O表示． 5．简单组合体
（1）概念：由 组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的．
（2）基本形式：一种是由简单几何体 而成，另一种是由简单几何体 或 一部分而成.
【问题探究】
[问题情境]
举世闻名的比萨斜塔是意大利的一个著名景点．它的构造从外形上看是由八个圆柱组合成的一个组合体，我们周围的很多建筑物和它一样，也都是由一些简单几何体组合而成的组合体．本节我们就来学习旋转体与简单组合体的结构特征． 探究点一 圆柱的结构特征
问题1 如图所示的空间几何体叫做圆柱，那么圆柱是怎样形成的呢？与圆柱有关的几个概念是如何定义的？
问题2 如图，平行于圆柱底面的截面，经过圆柱任意两条母线的截面分别是什么图形？
10．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________(写出所
有正确结论的编号)．
①矩形； ②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体．
11．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．
（1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形； （2）由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形．
三、探究与拓展
12．正方体的截面可能是什么形状的图形？
第2课时 旋转体与简单组合体的结构特征
【学习要求】
1．认识组成我们生活的世界的各种各样的旋转体；
2．认识和把握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征．
探究点二 圆锥的结构特征
问题1 类比圆柱的定义，结合下图你能给圆锥下个定义吗？
【学法指导】
通过直观感受空间物体，从实物中概括出旋转体与简单组合体的结构特征，提高观察、讨论、归纳、概括的能力；感受空间几何体存在于现实生活中，增强学习的积极性，培养空间想象力．
【知识要点】
1．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做 ． 叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的 ；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的 ；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边叫做圆柱侧面的 ．
2．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做 ．
4
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③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． A．0 B．1 C．2 D．3
探究点五 简单组合体的结构特征
问题1 现实生活中的物体多数是由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体．那么这些组合体是怎样构成的？ 问题2 观察教材图1.1－11中(1)、(3)两物体所示的几何体，你能说出它们各由哪些简单几何体组合而成吗？ 例3 描述下列几何体的结构特征．
问题2 类比圆柱的轴、底面、侧面、母线的定义，如何定义圆锥的轴、底面、侧面、母线？ 问题3 经过圆锥的任意两条母线的截面是什么图形？圆锥如何用字母表示？
探究点三 圆台的结构特征
问题1 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面与底面之间的部分叫做圆台．圆台可以由什么平面图形旋转而形成？
问题2 与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线，它们的含义分别如何？圆台如何用字母表示？ 问题3 圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否互相转化？
例1 用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥小结 组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分而成的，因此，要仔细观察的母线长是3 cm，求圆台的母线长．
组合体的组成，结合柱、锥、台、球的几何结构特征，对原组合体进行分割． 小结 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合跟踪训练3 数学奥林匹克竞赛中，若你获得第一名，被授予如图所示的奖杯，那旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程么，请你介绍一下你所得的奖杯是由哪些简单几何体组成的？
组而解得．
跟踪训练1 将例1中“截去的圆锥的母线长是3 cm”改为“圆锥SO的母线长为16 cm”其余条件不变，则结果【当堂检测】
如何？ 1．下图是由哪个平面图形旋转得到的 ( )
探究点四 球的结构特征
问题 类比圆柱、圆锥、圆台的定义，球是如何定义的？球心及球半径是指什么？如何用字母表示球？ 例2 判断下列各命题是否正确：
（1）三棱柱有6个顶点，三棱锥有4个顶点；
（2）圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；
（3）一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；
（4）圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形； （5）到定点的距离等于定长的点的集合是球．
小结 对几何体定义的理解要准确，另外，要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地分析，多观察实物，提高空间想象能力．
跟踪训练2 下列叙述中正确的个数是 ( )
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；
5
高二数学必修二简单几何体导学案及课后作业加答案
