一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？
【答案】经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2． 【解析】 【分析】
作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=
1×PB×QE，有P、Q点的移动速2度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案． 【详解】
解：
如图，
过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°． ∵∠ABC＝30°， ∴2QE＝QB． ∴S△PQB＝
1?PB?QE． 2设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2， 则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．
1 ?（6﹣t）?t＝4． 2t2﹣6t+8＝0． t2＝2，t2＝4．
根据题意，
当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2． 答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．
2．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0． （1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．
【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为±2，方程的另一个根是5． 【解析】 【分析】
（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；
（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可. 【详解】 （1）证明：
∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0， ∴x2﹣7x+12﹣m2=0，
∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2， ∵m2≥0， ∴△＞0，
∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根； （2）解：∵方程的一个根是2， ∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±即m的值为±【点睛】
此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.
当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.
，
∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，
，方程的另一个根是5．
3．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【答案】（1）5；（2）180 【解析】 【分析】
（1）设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；
（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可． 【详解】
（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得： x+1+（x+1）x＝36，
解得：x＝5或x＝﹣7（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了5个人； （2）根据题意得：5×36＝180（个）， 答：第三轮将又有180人被传染． 【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.
4．已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0。 （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长。
【答案】（1）见详解；（2）4＋10或4＋22. 【解析】 【分析】
（1）根据关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0的根的判别式的符号来证明结论. （2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行计算. 【详解】
解：（1）证明：∵△=（m＋2）2－4（2m－1）=（m－2）2＋4， ∴在实数范围内，m无论取何值，（m－2）2+4≥4＞0，即△＞0. ∴关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0恒有两个不相等的实数根. （2）∵此方程的一个根是1，
∴12－1×（m＋2）＋（2m－1）=0，解得，m=2， 则方程的另一根为：m＋2－1=2+1=3.
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为10，该直角三角形的周长为1＋3＋10=4＋10.
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22；则该直角三角形的周长为1＋3＋22=4＋22.
5．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【答案】（1）4元或6元；（2）九折. 【解析】
【详解】
解：（1）设每千克核桃应降价x元.
x×20）=2240， 2化简，得 x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6. 答：每千克核桃应降价4元或6元.
（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元. ∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.
根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+此时，售价为：60﹣6=54（元），答：该店应按原售价的九折出售.
54?100%=90%. 60
6．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？
【答案】共有35名同学参加了研学游活动． 【解析】
试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．
试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人． 设九（1）班共有x人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x﹣30）]元，由题意得： x[100﹣2（x﹣30）]=3150，
整理得x2﹣80x+1575=0，解得x1=35，x2=45，
当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．
当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去． 答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动． 考点：一元二次方程的应用．
17．已知：关于x的一元二次方程x2?(m?1)x?m2?2?0.
4（1）若此方程有两个实数根，求没m的最小整数值； （2）若此方程的两个实数根为x1，x2，且满足x1?x1x2?18?【答案】（1）-4；（2）m=3 【解析】 【分析】
2122m?x2，求m的值. 4（1）利用根的判别式的意义得到△≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1?x2??(m?1)，x1x2?元二次方程，即可确定m的值． 【详解】
122解：（1）∵x?(m?1)x?m?2?0有两个实数根，
412m?2，然后解关于m的一4∴??(m?1)?4?1?(m?2)?0， ∴2m?9?0， ∴m??21429； 212m?2， 4∴m的最小整数值为：m??4；
（2）由根与系数的关系得：x1?x2??(m?1)，x1x2?由x1?x2?x1x2?18?2212m得： 4212?12????m?1?m?2?18?m ??????4?4?∴m2?2m?15?0， 解得：m?3或m??5； ∵m??9， 2∴m?3. 【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则
cb，x1x2?．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系aa和根的判别式.
x1?x2??
8．今年以来猪肉价格不断走高，引起了民众与区政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每 千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至 11月 10 日，猪排骨价格不断走高，11 月 10 日比年初价格上涨了 75%．今年 11 月 10 日某市 民于 A 超市购买 5 千克猪排骨花费 350 元． （1）A 超市 11 月排骨的进货价为年初排骨售价的
3倍，按 11 月 10 日价格出售，平均一2天能销售出 100 千克，超市统计发现：若排骨的售价每千克下降 1 元，其日销售量就增加 20千克，超市为了实现销售排骨每天有 1000 元的利润，为了尽可能让顾客优惠应该将排
备战中考数学备考之一元二次方程压轴突破训练∶培优易错试卷篇(1)
