高中数学-函数的单调性与导数练习
A级 基础巩固
一、选择题
1．在下列结论中，正确的有( A ) (1)单调增函数的导数也是单调增函数； (2)单调减函数的导数也是单调减函数； (3)单调函数的导数也是单调函数； (4)导函数是单调的，则原函数也是单调的． A．0个 C．3个
B．2个 D．4个
12
[解析] 分别举反例：(1)y＝lnx，(2)y＝(x>0)，(3)y＝2x，(4)y＝x，故选A．
x2．函数f(x)＝ax－x在R上为减函数，则( A ) A．a≤0 C．a<2
2
3
B．a<1 1D．a≤ 3
[解析] f ′(x)＝3ax－1≤0恒成立，∴a≤0．
3．(2017·宣城高二检测)函数f(x)＝2＋x－2在区间(0,1)内的零点个数是( B ) A．0 C．2
B．1 D．3
x3
[解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．
∵f(x)＝2＋x－2,0
又f(0)＝2＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，f(0)f(1)<0，则f(x)在(0,1)内至少有一个零点，
又函数y＝f(x)在(0,1)上单调递增，则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点． 4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( B ) A．y＝sinx C．y＝x－x
2
2
3
0
x3x2
B．y＝xe D．y＝lnx－x
2
2
[解析] 对于B，y＝xe，则y′＝e，∴y＝xe在R上为增函数，在(0，＋∞)上也为增函数，选B．
5．(2018·商洛模拟)设f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的图
1
象可能是( B )
[解析] 由f(x)的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，f(x)递减， 即有导数小于0，可排除C，D；
再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降， 函数f(x)递减，再递增，后递减， 即有导数先小于0，再大于0，最后小于0， 可排除A；则B正确． 故选B．
lnx6．若f(x)＝，e xA．f(a)>f(b) C．f(a) 1－lnx[解析] 因为f′(x)＝， 2 B．f(a)＝f(b) D．f(a)f(b)>1 x∴当x>e时，f′(x)<0，则f(x)在(e，＋∞)上为减函数，因为e π5π7．(2018·无锡期末)函数f(x)＝x＋2cosx(0≤x≤2π)的单调递减区间为(，)． 66[解析] ∵函数y＝x＋2cosx，∴y′＝1－2sinx＜0， 1 ∴sinx＞， 2 π5ππ5π 又∵x∈[0,2π]，∴x∈(，)，故答案为(，)． 6666 132 8．(2018·沙市区校级期中)函数y＝x－x－x的单调增区间为(－∞，)，(1，＋∞)． 31322 [解析] 由y＝x－x－x，∴f′(x)＝3x－2x－1＝3(x＋)(x－1)． 3 2 1 令f′(x)＝0，解得x＝－，1． 3列表如下： x f′(x) f(x) 1(－∞，－) 3＋ 单调递增 1－ 30 极大值 1(－，1) 3－ 单调递减 1 0 极小值 (1，＋∞) ＋ 单调递增 1由表格可知：函数f(x)的单调递增是(－∞，－)，(1，＋∞)； 31 故答案为(－∞，)，(1，＋∞)． 3三、解答题 9．(2018·天津理，20(1))已知函数f(x)＝a，g(x)＝logax，其中a>1．求函数h(x)＝f(x)－xln a的单调区间． [解析] 由已知，h(x)＝a－xln a，有h′(x)＝aln a－ln a． 令h′(x)＝0，解得x＝0． 由a>1，可知当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表： xxxx h′(x) h(x) (－∞，0) － 0 0 极小值 (0，＋∞) ＋ 所以函数h(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)． 10．(2017·长沙高二检测)已知a≥0，函数f(x)＝(x－2ax)e．设f(x)在区间[－1,1]上是单调函数，求a的取值范围． [解析] ∵f(x)＝(x－2ax)e， ∴f′(x)＝(2x－2a)e＋(x－2ax)e ＝e[x＋2(1－a)x－2a] 令f′(x)＝0，即x＋2(1－a)x－2a＝0， 解x1＝a－1－1＋a，x2＝a－1＋1＋a， 其中x1 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表 2222 2 xxx2xx2 x f′(x) f(x) (－∞，x1) ＋ x1 0 极大值 (x1，x2) － x2 0 极小值 (x2，＋∞) ＋ ∵a≥0，∴x1<－1，x2≥0．f(x)在区间(x1，x2)上单调递减， ∴x2≥1，即a－1＋1＋a≥1， 3 2 3∴a≥． 4 B级 素养提升 一、选择题 1．(2018·和平区二模)已知f(x)是定义在R上的函数，它的图象上任意一点P(x0，y0)处的切线方程为y＝(x0－x0－2)x＋(y0－x0＋x0＋2x0)，那么函数f(x)的单调递减区间为( A ) A．(－1,2) C．(－∞，－1) B．(－2,1) D．(2，＋∞) 2 3 2 [解析] 因为函数f(x)，(x∈R)上任一点(x0，y0)的切线方程为 32 y＝(x20－x0－2)x＋(y0－x0＋x0＋2x0)， 即函数在任一点(x0，y0)的切线斜率为k＝x0－x0－2， 即知任一点的导数为f′(x)＝x－x－2＝(x－2)(x＋1)， 由f′(x)＜0，得－1＜x＜2，即函数f(x)的单调递减区间是(－1,2)． 故选A． 2．(2018·黔东南州一模)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cosx－1，则函数y＝lnf(x)的单调递增区间是( A ) ππ A．(kπ－，kπ＋](k∈Z) 883ππ B．[kπ－，kπ＋)(k∈Z) 88π3π C．[kπ＋，kπ＋)(k∈Z) 88π5π D．[kπ＋，kπ＋](k∈Z) 88 π [解析] 由已知，化简得f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)， 4又y＝lnf(x)与y＝f(x)的单调性相同且f(x)＞0， ππ 所以2x＋∈(2kπ，2kπ＋]， 42ππ ∴x∈(kπ－，kπ＋](k∈Z)， 88故选A． 1 3．若函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是( C ) 3A．[－1,1] 1 B．[－1，] 3 4 2 2 2 11C．[－，] 331 D．[－1，－] 3 1 [解析] 函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x)＝1 32425 －cos2x＋acosx＝－cosx＋acosx＋≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cosx＝t， 333 425 则g(t)＝－t＋at＋≥0在[－1,1]恒成立， 33 ??g所以???g45 1＝－＋a＋≥0 33 45 －1＝－－a＋≥0 33 ， 11 解得－≤a≤．故选C． 33二、填空题 4．已知函数f(x)＝x＋ax＋(2a－3)x－1． (1)若f(x)的单调减区间为(－1,1)，则a的取值集合为{0}． (2)若f(x)在区间(－1,1)内单调递减，则a的取值集合为{a|a<0}． [解析] f ′(x)＝3x＋2ax＋2a－3＝(x＋1)(3x＋2a－3)． (1)∵f(x)的单调减区间为(－1,1)， ∴－1和1是方程f ′(x)＝0的两根， ∴ 3－2a＝1，∴a＝0，∴a的取值集合为{0}． 3 23 2 (2)∵f(x)在区间(－1,1)内单调递减，∴f ′(x)<0在(－1,1)内恒成立，又二次函数y3－2a＝f ′(x)开口向上，一根为－1，∴必有>1，∴a<0， 3 ∴a的取值集合为{a|a<0}． 三、解答题 5．(2017·驻马店高二检测)已知函数f(x)＝(ax＋x－1)e，其中e是自然对数的底数， 2 xa∈R． (1)若a＝1，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若a＝－1，求f(x)的单调区间． [解析] (1)因为f(x)＝(x＋x－1)e，所以f′(x)＝(2x＋1)e＋(x＋x－1)e＝(x＋3x)e，所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝f′(1)＝4e． 又因为f(1)＝e，所以所求切线方程为y－e＝4e(x－1)， 即4ex－y－3e＝0． x2 xx2x2 5
高中数学-函数的单调性与导数练习
