8.4 三元一次方程组解法举例
教学目标
1．理解三元一次方程组的含义． 2．会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组． 3．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路． 教学重点 1．使学生会解简单的三元一次方程组． 2．通过本节学习，进一步体会 “消元 ”的基本思想．
教学难点 针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法． 导入新课 前面我们学习了二元一次方程组的解法．有些问题，可以设出两个未知数， 列出二元一次方程组来求解． 实际上， 有不少问题中含有更多的未知数． 大家看 下面的问题．
推进新课 一、研究探讨 出示引入问题
小明手头有 12张面额分别为 1元，2 元， 5元的纸币，共计 22元，其中 1 元纸币的数量是 2 元纸币数量的 4倍，求 1 元，2元，5 元纸币各多少张．
1．题目中有几个未知数，你如何去设？ 2．根据题意你能找到等量关系吗？ 3．根据等量关系你能列出方程组吗？ 请大家分组讨论上述问题． （教师对学生进行巡回指导） 学生成果展示：
1?设1元，2元，5元各x张，y张，z张?（共三个未知数）
2．三种纸币共 1 2张；三种纸币共 22元；1 元纸币的数量是 2元纸币的 4 倍．
x y z =12,
3?上述三种条件都要满足，因此可得方程组 x 2y 5^22, x =4y.
师：这个方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1, 并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法， 设法消去一个或 两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？
（学生小组交流，探索如何消元.）
可以把③分别代入①②，便消去了 x，只包含y和z二元了：
1 x = 8,
4y y Z=12
，即 5y ^12,解得 “2,
z = 2.
4y 2y 5z = 22, 6y 5z = 22.
解此二元一次方程组得出y、z,进而代回原方程组可求x.
教师对学生的想法给予肯定并总结解三元一次方程组的基本思路：通过
代
入”或 加减”进行消元，把三元”化为 二元”使解三元一次方程组转化为解二元次方程组，进而转化为解一元一次方程.
即三元一次方程组消元_二元一次方程组 消元」一元一次方程-
二、例题讲解
3x 4z = 7,
例1:解三元一次方程组 2x 3y ^9,
5x - 9y 7z = 8.
（让学生独立分析、解题，方法不唯一，可分别让学生板演后比较. ） 解：② X3+③，得 11x+10z=35. 3x + 4z = 7
x = 5
① 与④组成方程组11x 10z.35.解得z「2. 1
把x=5，z=-2代入②，得y= -.3
x = 5,
因此，三元一次方程组的解为 y =丄，
I 3 z 2.
一
归纳：此方程组的特点是①不含y,而②③中y的系数为整数倍关系，因此 用加减法从②③中消去y后，再与①组成关于x和z的二元一次方程组的解法最 合理.？反之用代入法运算较烦琐.
2
例2:在等式y=ax +bx+c中，当x=-1时，y=0;当x=2时，y=3;当x=5时, y=60，求 a，b，?c 的值.
(师生一起分析，列出方程组后交由学生求解.)
a -b c = 0,
、 I
解：由题意，得三元
次方程组 4a ■ 2b ? c = 3,
25a 5b c = 60. L
② -①，得a+b=1， ③ -①，得 4a+b=10.
严bT
④与⑤组成二元一次方程组 4a b = 10. 解得a:32
L
把a=3，b=-2代入①，得c=-5.
a = 3,
因此b = -2,，
c - -5.
答：a=3，b=-2， c=-5. 知能训练
1. 解下列三元一次方程组：
x-2y=-9, (1)y - z二 3,
2z x= 4 7 ;
[x=22, [x= 2,
解：(1 )y 二 15.5, y：2)
z = 1 2 . 5 ; z =
1 . 3ey=z4, (2)x 2 y 3乞
x y =z 6 .
3,
1 2,
1
的-，求这三个数.
1
2. 甲、乙、丙三个数的和是 35,甲数的2倍比乙数大，乙数的丄等于丙数
3
2
x+y + z = 35, y z ^3 = 2,
即甲、乙、丙三数分别为10、15、10. 课堂小结
1. 学会三元一次方程组的基本解法. 2. 择，体会
布置作业
习题 8. 4 1、2. 活动与探究 习题8. 4拓广探索
「x = 10, z = 10. '
解：设甲、乙、丙三个数分别为 x、y、z,贝U 2x-y =5, 解得y = 15,
掌握代入法，加减法的灵活选消元”思想.
_2 二 a b c.
解：由已知，得 20=a-b，c,
9 3, a —a+—b+c=— i4 2 9
②—①，得b=-11, 由③得77 a — b=0，
36 6 ④ 代入⑤，得a=6.
a =6 6，
b +c. — 3 ⑤
④
⑥
[a=6,
c=3，因此，b=-11,
把 代入①，得
b - -11
答：a=6， b=-11， c=3.
I
c = 3.
备课资料 参考例题
3x - 2 y z = 6,
ax by 2 cz = 2, 2ax - 3by 4cz - 1, 3ax「3by 5c^ 1
1 .已知方程组 6x，y-2z=-2,与关于x, y, 的方程组
6x 2y 5z= 3
相同，求a, b，c的值.
人教版初一数学下册《8.4三元一次方程组解法》教学设计
