电大微积分初步期末复习资料小抄
一、填空题
⒈函数f(x)?20.微分方程y??y,y(0)?1的特解为 y=e的x次方 ． 21.函数f(x)?1?4?x2的定义域是
ln(x?2)(?2,?1)?(?1,2] ．
1的定义域是 ．
ln(x?2)答案：(2,3)?(3,??)
x2?2x?3⒉函数y?的间断点是= ．答案：x??1
x?1⒊曲线f(x)?⒋若
?x2?2,x?022.若函数f(x)??,在x?0处连续，则
x?0?k,k? 2 ．
123.曲线y?x在点(1,1)处的斜率是 ．
21x?1在(0,1)点的斜率是 ．答案：
2 ．
?f(x)dx?cos2x?c，则f?(x) 答案：?4cos2x
⒌微分方程xy???(y?)3?0的阶数是 2 ．
6.函数f(x?1)?x2?2x，f(x)? ．答案：x?1
22x?c 24.?2dx? ln2x．
25.微分方程y??2x满足初始条件y(0)?1的特解为 y?x2?1 ．
f(x)?1ln(x?2)的定义域是 ． 2?26．函数
?xsin?k,x?07．函数f(x)??在x?0处连续，则k= 答案：(2,3)?(3,??) x?x?0?2,1f(x)?5?x的定义域是 ． 2 ． 27．函数
答案：(??,5) 18.曲线f(x)?x?1在(0,1)点的斜率是 ．答案：
12f(x)??4?x2ln(x?2)128．函数的定义域是 ． 39.?(3x?5x?2)dx? ．答案：4 ?1答案：(?2,?1)?(?1,2]
23f(x?1)?x?2x?7，则f(x)? ???10.微分方程xy?(y)?siny?0的阶数是 ．答案：2 29．函数．
11.函数f(x)?14?x2的定义域是 ．答案：(?2,2)
2x答案：?6
12.若limsin4x?2，则k? ．答案：2
x?0kx1 2x?x2?2x?0f(x)??xx?0?e30．函数，则f(0)? ．
13.已知f(x)?lnx，则f??(x)= ．答案：?14.若sinxdx? ．答案：?cosx?c 15.微分方程xy????(y?)sinx?e4x?y答案：2
2f(x?1)?x?2x，则f(x)? ． 31.函数2答案： x?1
x2?2x?3y?x?1的间断点是 ． 32．函数
答案： x??1
?的阶数是 3 ．
116.函数f(x)??4?x的定义域是(-2,-1)ln(x?2)∪(-1，4】．
sin4x?2，则k? 2． 17.若limx?0kx18.曲线y?ex在点(0,1)处的切线方程是_y=x+1__． 19.
de2ln(x?1)dx? dx?133．x??答案： 1
limxsin1?x ．
sin4x?2x?0sinkx34．若，则k? ．
lim答案： 2
sin3x?2x?0kx35．若，则k? ． 3答案： 2
lim0 ．
11?F(1?x2)?c36．曲线f(x)?x?1在(1,2)点的斜率是2． 答案：2
x12(0,1)y?x?1f(x)?e(sinxcos2x?x)dx?______.37．曲线在点的切线方程是． ?x?138．曲线y?2在点(1,1)处的切线方程是
y??12x?32． 12xln39．
(2x)??22x． 40．若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y?(0) = －6 ．
41．已知f(x)?x3?3x，则f?(3)=27(1?ln3)． 42．已知f(x)?lnx，则f??(x)=?1x2． 43．若f(x)?xe?x，则f??(0)?－2 ．
44．函数f(x)?ax2?1在区间(0,??)内单调增加，
则a应满足 大于零
45．若f(x)的一个原函数为lnx2，则
f(x)? 。 2答案：`x （c为任意常数） 46若f(x)的一个原函数为x?e?2x，则f?(x)? 。答案：?4e?2x 47若?f(x)dx?xex?c，则f(x)? ． 答案：ex?xex 48若?f(x)dx?sin2x?c，则f(x) ．
答案：2cosx
49．若?f(x)dx?xlnx?c，则f?(x)? ．1答案：x
50．若?f(x)dx?cos2x?c，则f?(x)? ．答案：?4cos2x
?x51．d?e2dx? ．
答案：e?x2dx
52．?(sinx)?dx? ．
答案：sinx?c 53．若?f(x)dx?F(x)?c，则?f(2x?3)dx? ．1答案：2F(2x?3)?c
10．若?f(x)dx?F(x)?c，则?xf(1?x2)dx? ．54． ?1 2答案：?3 ?25?(x?4x?cosx)dx?______.55．??2 答案：2 56．已知曲线y?f(x)在任意点x处切线的斜率为x，且曲线过(4,5)，则该曲线的方程是 。
答案：y?2x??3 157．若??1(5x3?3x?2)dx? 答案：4 a58．由定积分的几何意义知，?0a2?x2dx= 。?a2答案：4，它是1/4半径为a的圆的面积。 de59．dx?1ln(x2?1)dx? 答案：0
0160．???e2xdx= ． 答案：2 61．微分方程y??y,y(0)?1的特解为 . 答案：1 62．微分方程y??3y?0的通解为 .答案：e?3x 63．微分方程
(y??)3?4xy(4)?y7sinx的阶数为 ． 答案：2
64．函数f(x)?1ln(x?2)的定义域是___x?2且x?3 。
65．函数y?13?x＋ln(x?1)的定义域是_(1,3) _。66．设f(x)＝??ex?1x?0，则f(0)＝?1?x2x?0___0____。 67．函数f(x?1)?x2?2x，则f(x)?__x2?1_ 。68．limsinxx?02x?_____12__ 。 69．设y?xlnx，则y??___1x____。 70．曲线y?x?2在点x?2的切线方程是______y?134x?2 。 71．函数y?ln(1?x2)在区间____(??,0)______内是
单调减少的。 72．函数y?(x?2)2?1的单调增加区间是 (2,??) ．
73．若?f(x)dx?cos2x?c，则f(x)? ?2sin2x ．
74．d?cos2xdx?____cos2xdx___。
18.微分方程(y??)3?4xy????y5sinx的阶数为（3） 19.设f(x?1)?x2?2x?3，则f(x)?（x2?4） 20.若函数f (x)在点x0处可导，则(limf(x)?A，但
x?x075．?(sinx)?dx? 76．
esinx?c ．
A?f(x0) )是错误的．
21.函数y?x2?4x?6在区间(?4,4)是（先减后增） 22.若f(x)?x?x(x?0)，则?f?(x)dx?（x?x?c）.
d2ln(x?1)dx? 0 . ?1dx1-177．?(xcosx?1)dx? 2 .
78．微分方程xy???ex(y?)3?sinx的阶数是 二阶 ．
二、单项选择题
⒈设函数y?xsinx，则该函数是（偶函数）． ⒉若函数f(x)?sinx12x，则limx?0f(x)?（2）.
⒊函数y?(x?1)2在区间(?2,2)是（先减后增） ⒋下列无穷积分收敛的是（
???0e?2xdx）． ⒌微分方程y??y?1的通解是（y?cex?1）
6.函数y?x?1x2?3x?2的定义域（x?2且x?1）．
7.若函数f(x)?xsin1x，则limx??f(x)?（ 1 ）.
8.函数y?x2?4x?7在区间(?5,5)是（先减后增） 9.下列无穷积分收敛的是（
???11x2dx）． 10.下列微分方程中为一阶线性微分方程的是（y??siny?x）
11.设函数y?xsinx，则该函数是（偶函数）．
12.当k=（ 2 ）时，函数f(x)???x2?1,,x?0?kx?0，在x?0处连续.
13.微分方程y??y?1的通解是（y?Cex?1 ）
14.设函数y?xsinx，则该函数是（偶函数）．
15.当k?（2）时，函数f(x)???x2?2,x?0，在x??k,x?00处连续.
16.下列结论中（f(x)在x?x0处不连续，则一定在x0处不可导. ）正确．
17.下列等式中正确的是（1xdx?d(2x)）． 23.微分方程(y?)3?4xy????y5y??sinx的阶数为（3）
e?x?ex24．设函数y?2，则该函数是（偶函数）． 25．设函数
y?x2sinx，则该函数是（奇函数）． 2x26．函数(x)?x?2?xf2的图形是关于（坐标原点）
对称．
27．下列函数中为奇函数是（
ln(x?1?x2) ）．
28．函数
y?1x?4?ln(x?5)的定义域为（x??5且
x??4）．
f(x)?129．函数
ln(x?1)的定义域是
（(1,2)?(2,??) ）．
30．设
f(x?1)?x2?1，则f(x)?（ x(x?2) ） 31．下列各函数对中，（f(x)?lnx3，g(x)?3lnx）
中的两个函数相等．
32．当x?0时，下列变量中为无穷小量的是（ ln(1?x) ）. 答案：C
?x2f(x)???1,x?033．当k?（ 1 ）时，函数
?k,x?0，在x?0处连续.
?exf(x)???2,x?034．当k?（ 3 ）时，函数
?k,x?0在x?0处连续.
35．函数
f(x)?x?3x2?3x?2的间断点是
（ x?1,x?2 ）
36．函数y?(x?1)2在区间(?2,2)是（先减后增）
37．满足方程f?(x)?0的点一定是函数y?f(x)的
（驻点）.
38．若f(x)?e?xcosx，则f?(0)=（-1 ）． 39．设y?f(x)是可微函数，则df(cos2x)?是线性微分方程． （ ?f?(cos2x)sin2xd2x）．
2xy??0的通解为（ y?C ）． 4y?e?161．微分方程x?22e40．曲线在处切线的斜率是（ ）．
62．下列微分方程中为可分离变量方程的是41．若f(x)?xcosx，则f??(x)?dy?xy?y（ ?2sinx?xcosx）．
dx（ ） 3??f(x)?f(x)?sinx?a42．若，其中a是常数，则163.函数y＝?4?x2的定义域是（(－2，2]）。 ?sinx（ ）． x?21x?1 ）。 43．下列结论中（f(x)在x?x0处连续，则一定在x064．设f(x)??1，则f(f(x))?（
x1?x处可微.）不正确． 1xf(x)?(e?e?x)的图形关于65．函数（y轴）对称． limf(x)?A244．若函数f (x)在点x0处可导，则(x?x0，
x?0时，变量（ ex?1 ）是无穷小量． 66、当A?f(x)0)是错误的． 但
?sinx?f45.下列结论正确的有（x0是f (x)的极值点，且(x0)67．函数f(x)???x,x?0 在x = 0处连续，则k = ??f?存在，则必有(x0) = 0）． ?k,x?0df(x)dx?f(x)(-1)． ?46．下列等式成立的是（dx）． 68．曲线y?x3?x在点(1,0)处的切线方程是
22x2xf(x)dx?xe?c47．若?，则f(x)?（2xe(1?x)）. （ y?2x?2 ）。
?x69．若f(x)?ecosx，则f?(0)?（ ?1 ）。 ?f(x)dx?f(x)?x?x(x?0)?48．若，则
270．函数y?x?2x?3在区间(2,4)内满足（单调上x?x?c（ ）.
升 ）．
d3xx3dx?71．函数y＝x2－2x＋5在区间 (0，1) 上是（单调减
ln3 ） 49．以下计算正确的是（
少 ）。
??xf(x)dx?50．?（ xf?(x)?f(x)?c ） 72．下列式子中正确的是（ d?f(x)dx?f(x)dx ）。
?2xd?a?2xdxd3xx51．=（ adx ）． 73．以下计算正确的是（ 3dx? ） 11ln3??xf(x)edx??ex?C?74．若f(x)?cosx，则?f?(x)dx?（ cosx?c ）． 52．如果等式，则f(x)?1?2（ x ）
75．?xd(e?x)?（ xe?x?e?x?c ）。 76．下列定积分中积分值为0的是
x?x1e?edx ）． （ ??1277．微分方程y???y的通解是（ y?ce?x ）。
三、计算题（本题共44分，每小题11分）
a53．在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ y = x2 + 3 ）．
(2x?k)dx?54．若= 2，则k =（ 1 ）．
0155．下列定积分中积分值为0的是x?x1e?edx??12（ ）．
f(x)dx?56．设f(x)是连续的奇函数，则定积分?-a（ 0 ）
?x2?3x?2⒈ 计算极限lim． 2x?1x?1 解
57．
??sinxdx?2-2（ 2 ）．
??x2?3x?2(x?1)(x?2)x?21lim?lim?lim?? x?1x?1(x?1)(x?1)x?1x?12x2?1 ⒉ 设y?x?lncosx，求y?.
3258．下列无穷积分收敛的是（?0e?xdx ）．
59．下列无穷积分收敛的是（0 ）．
x???ysinx?ye?ylnx ）60．下列微分方程中，（
???e?2xdx313(?sinx)?x2?tanx 解 y??x2?2cosx2ex3．计算不定积分?dx
x5?e11 解
?ex5?ex?dx??d(5?ex)5?exdx?25?ex?c 解
??04．计算定积分 解
??20xsinxdx
??20xsinxdx2??11??1???xcosx??cosxdx??sinx?
22024200??20xsinxdx??xcosx02??cosxdx?sinx02?1
x2?6x?85．计算极限lim2．
x?1x?x?2 解
x2?6x?8(x?2)(x?4)(x?4)2lim2?lim?lim?? x?1x?x?2x?2(x?2)(x?1)x?2(x?1)3 6． 设y?cos5x?ln3x，求y?.
解
32
3ln2xy??(cos5x)??(lnx)???sin5x(5x)??3lnx(lnx)???5sin5x? x14.计算不定积分?(2x?1)10dx
7．计算不定积分 解
x2?6x?812.计算极限lim2．
x?2x?3x?2(x?4)(x?2)x?4解：原式?lim?lim??2
x?2(x?2)(x?1)x?2x?113.设y?lnx?cos3x，求dy.
1解：y???3cos2x(?sinx)
x12xcosx)dx dy?(?3sinx?sinxxdx
解：?(2x?1)10dx=
111011(2x?1)d(2x?1)?(2x?1)?c ?222?sinxxdx=2?sinxdx??2cosx?c ?2015.计算定积分解：
e2?e21lnxdx
e28．计算定积分 解
??xcosxdx
??01lnxdx?xlnx1?e2?1xdx?2e2?e2?1?e2?1 x?20xcosxdx?2?2sinxdx??xsinx0??2?cosx02???2?1
x2?3x?29.计算极限lim． 2x?2x?4 解
x2?116.计算极限lim2．
x?1x?5x?4(x?1)(x?1)x?12?lim?? 解：原式?limx?1(x?4)(x?1)x?1x?4317.设y?e?2x?cosx，求dy.
解：y???2e?2x?sinx
dy??(2e?2x?sinx)dx 18.计算不定积分?xcosxdx 解：?xcosxdx= 19.计算定积分?解：
e3e31x2?3x?2(x?1)(x?2)x?11lim?lim?lim? 2x?2x?2x?2(x?2)(x?2)x?24x?4
310.设y?sin5x?cosx，求y?. 解
xsinx??sinxdx?xsinx?cosx?c
1x1?lnxdx
sx?3sinxco2sx y??5co5sx?3co2sx(?sinx)?5co5
11.计算不定积分 解
?1x1?lnxe311dxd(1?lnx)?21?lnxe31?(1?x)2xdx=
dx
??11?lnx?2
?(1?x)2xx2?3x?2lim220.计算极限x?2x?4．
2?(1?x)2d(1?x)?12.计算定积分
2(1?x)3?C 3??0xsinxdx 2解
x2?3x?2(x?1)(x?2)x?11lim?lim?lim?2x?2x?2x?2(x?2)(x?2)x?24 x?4
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