专题05 函数的奇偶性与单调性
【方法点拨】
1. 若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)，其作用是将“变量化正”，从而避免分类讨论．
2. 以具体的函数为依托，而将奇偶性、单调性内隐于函数解析式去求解参数的取值范
围，是函数的奇偶性、单调性的综合题的一种重要命题方式，考查学生运用知识解决问题的能力，综合性强，体现能力立意，具有一定难度.
【典型题示例】
例1 (2024·江苏启东期初)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－ ，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A. B.∪(1，＋∞) C. D.∪ 【答案】A
【分析】发现函数f(x)为偶函数，直接利用f(x)＝f(|x|)，将“变量化正”，转化为研究函数函
数f(x)在（0，+∞）上单调性，逆用单调性脱“f”． 【解析】易知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为偶函数．
当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，易知此时f(x)单调递增．
所以f(x)>f(2x－1)?f(|x|)>f(|2x－1|)，所以|x|>|2x－1|，解得 例2 （2017·江苏·11）已知函数 f(x)?x3?2x?ex?1ex, 其中e是自然对数的底数. 2f(a?1)?f(2a)≤0,则实数a的取值范围是 . 若 1[?1,]2 【答案】 2f(a?1)?f(2a)≤0移项，运用奇偶性再将【分析】直接发现函数的单调性、奇偶性，将 负号移入函数内，逆用单调性脱“f”． f(?x)??x3?2x?【解析】因为 1x?e??f(x)xe， 所以f(x)是奇函数 2x?x2x?xf'(x)?3x?2?e?e?3x?2?2e?e?0，所以数f(x)在R上单又因为 调递增 22f(a?1)?f(2a)≤0f(2a)≤-f(a?1)=f(1?a)， f(x)由、是奇函数得 22由f(x)在R上单调递增，得2a?1?a，即2a?a?1?0，解得 ?1?a?12， 1 1[?1,]2. 故实数a的取值范围为 例3 已知函数 则实数x 的取值范围为 ． 【答案】 f?x??ex?e?x+12f(2x?1)?f(4?x)?2，e（为自然对数的底数），若 ??1,3? 【分析】本题是例2的进一步的延拓，其要点是需对已知函数适当变形，构造出一个具有 奇偶性、单调性的函数,其思维能力要求的更高，难度更大. x?xF(x)?f(x)?1?e?e【解析】令，易知F(x)是奇函数且在R上单调递增 2f(4?x2)?1?1?f(2x?1)???f(2x?1)?1?f(2x?1)?f(4?x)?2由得 2F(4?x)??F(2x?1) 即 2F(4?x)?F(1?2x) ?F(2x?1)=F(1?2x)F(x)由是奇函数得，故 22由F(x)在R上单调递增，得4?x?1?2x，即x?2x?3?0，解得?1?x?3， 故实数x的取值范围为 ??1,3?. ?21?x,x?1f(x)??x?12f(2x?2)?fx?x?2??2,x?1?例4 已知函数，若，则实数x的取值范围 是（ ） A．[?2,?1] C．R 【答案】D B．[1,??) D．(??,?2][1,??) ?21?x,x1?x?1f(x)??x?1?22,x?1?【解析】函数，故f(x)关于直线x?1对称，且在[1，??)上 单减，函数f(x)的图象如下： 17x2?x?2?(x?)2??1f (2x?2)f(x?x?2)，且24恒成立， 2?|2x?2?1|x2?x?2?1，即|2x?3|x2?x?1， 2 x当 33x222时，不等式化为：2x?3x?x?1，即x?3x?40，解得x?R，即2；3222时，不等式化为：3?2xx?x?1，即x?x?20，解得x?2或x1，即 1x?32； x?当 x?2或 2?2][1??)综上，f(2x?2)f(x?x?2)时，实数x的取值范围是(??，，． 故选：D． x?xf(x)?3?3例5 （2024·江苏南师附中期中·14）已知函数， f(1?2log3t)?f(3log3t?1)?log1t3，则t的取值范围是 ． 【答案】[1,??) f(1?2log3t)?f(3log3t?1)?log1t【分析】将已知 3按照“左右形式相当，一边一个变 f(3log3t?1)?log1t?f(1?2log3t)量”的原则，移项变形为 3，易知 进 一 步 变 为 f(x)?3x?3?x是奇函数，故 f(3log3t?1)?(3log3t?1)?f(2log3t?1)?(2log3t?1)（#），故下一步需构造函 数F(x)?f(x)?x，转化为研究F(x)?f(x)?x的单调性，而F(x)?f(x)?x单增，故（#）可化为 log3t?0，即 3log3t?1?2log3t?1，解之得t?1. 【巩固训练】 1．若函数 f(x)=xlnx?a?x2??为偶函数，则实数a= B．D． 2.设函数A．C． f?x??ln?1?x??11?x2，则使得f?x??f?1?成立的x的取值范围是（ ）． ?1,??? ??1,1? f(x)????,?1??1,??? ??1,0??0,1? 3.已知函数 1?2x2xf(x?5x)?f(6)?0的实数x的取值范围是 ． 2，则满足 f(a)?f?a2?2??2 ，则实数a的取值范围 3 4. 已知函数f(x)?x?|x|?3x?1，若__________.
专题05 函数的奇偶性与单调性-2024年高考数学一轮复习优拔尖必刷压轴题(选择题、填空题)(新高考地区专用
