第21届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答
一、开始时U形管右管中空气的体积和压强分别为 V2 = HA p2= p1 经过2小时，U形管右管中空气的体积和压强分别为
V2??(H??H)A （2）
（1）
?? p2p2V2 （3） ?V2渗透室下部连同U形管左管水面以上部分气体的总体积和压强分别为
V1??V1??HA
（4） （5）
??2?gΔHp1?p2式中??为水的密度，g为重力加速度．由理想气体状态方程pV?nRT可知，经过2小时，薄膜下部增加的空气的摩尔数
?n??V1?p1V1p1 ?RTRT（6）
在2个小时内，通过薄膜渗透过去的分子数
N??nNA
（7）
式中NA为阿伏伽德罗常量．
渗透室上部空气的摩尔数减少，压强下降．下降了?p
经过2小时渗透室上部分中空气的压强为
?p?ΔnRT V0（8）
??p0??p p01??p1?)? ?(p0?p1)?(p02（9）
测试过程的平均压强差
?p?（10）
根据定义，由以上各式和有关数据，可求得该薄膜材料在0℃时对空气的透气系数
k?Nd?ptS?2.4?1011Pa?1m?1s?1
（11）
评分标准：
本题20分．(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式各1分，(6)式3分，(7)、(8)、(9)、(10) 式各2分，(11) 式4分． 二、如图，卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，地心位于轨道椭圆的一个焦点O处，设待测量星体位于C处．根据题意，当一个卫星运动到轨道的近地点A时，另一个卫星恰好到达远地点B处，只要位于A点的卫星用角度测量仪测出AO和AC的夹角?1，位于B点的卫星用角度测量仪测出BO和BC的夹角?2，就可以计算出此时星体C与地心的距离OC． 因卫星椭圆轨道长轴的长度
AB?r近＋r远
(1)
式中r近、与r远分别表示轨道近地点和远地点到地心的距离．由角动量守恒
mv近r近＝mv远r远 (2)
式中m为卫星的质量．由机械能守恒
A O ?1 B
1GMm1GMm22mv近－?mv远－ (3) 2r近2r远已知
r近＝2R， v近＝得 所以
在△ABC中用正弦定理
3GM
4Rr远?6R
C (4) (5)
AB?2R?6R?8R sin?1BCBC??sin?π??1??2?AB (6)
所以
sin?1AB
sin??1??2?(7)
地心与星体之间的距离为OC，在△BOC中用余弦定理
由式(4)、(5)、(7)得
2OC?r远?BC?2r远?BCcos?2
22(8)
OC?2R9?16sin2??1??2?sin2?1?24sin?1cos?2
sin??1??2?(9)
评分标准：
本题20分．(1)式2分，(2)、(3)式各3分，(6) 、(8)式各3分， (9) 式6分．
三、因?子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命
?0?2.0?10?6s 根据时间膨胀效应，在地球上观测到的?子平均寿命为?，
???01??vc?2 (1)
代入数据得 ? = 1.4×10－5s
相对地面，若?子到达地面所需时间为t，则在t时刻剩余的?子数为
根据题意有
(2)
N?t??N?0?e?t?
(3)
对上式等号两边取e为底的对数得
代入数据得
N?t??e?t??5% N?0?(4)
t???ln5 100(5)
t?4.19?10?5s
(6)
根据题意，可以把?子的运动看作匀速直线运动，有
h?vt
h?1.24?104m
(7)
代入数据得
(8)
评分标准：
本题15分． (1)式或(2)式6分，(4)式或(5)式4分，(7) 式2分，(8) 式3分．
四、1．考虑到使3个点光源的3束光分别通过3个透镜都成实像于P点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于z轴，三个光心O1、O2、O3的连线平行于3个光
S 源的连线，O2位于z轴上，如图1所示．图中MM?表h 1?、S2?、S3?为三个光束中心光线示组合透镜的平面，S1S2 h 与该平面的交点． S2O2 ＝ u就是物距．根据透镜成
像公式 可解得
u?[L?L2?4fL]
M ????O1 ? S1O2(S2’) L P ??O3 S3’ u M’ 图1
z 111?? (1) uL?uf12
因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有2utan? ≤h即u≤2h．在上式中取“－”号，代入f 和L的值，算得
u?(6?32)h≈1.757h (2)
此解满足上面的条件．
分别作3个点光源与P点的连线．为使3个点光源都能同时成像于P点，3个透镜的光心O1、O2、O3应分别位于这3条连线上（如图1）．由几何关系知，有 O1O2?O2O3?L?u11h?(?2)h?0.854h L24(3)
?之下与S1?的距离为 即光心O1的位置应在S1?O1?h?O1O2?0.146h S1 (4)
?之上与S3?的距离为0.146h处．由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间距离必同理，O3的位置应在S3须等于0.854h，才能使S1、S2、S3都能成像于P点．
2．现在讨论如何把三个透镜L1、L2、L3加工组装成组合透镜． 因为三个透镜的半径r = 0.75h，将它们的光心分别放置到O1、O2、O3处时，由于O1O2＝O2O3＝0.854h<2r，透镜必然发生相互重叠，必须对透镜进行加工，各切去一部分，然后再将它们粘起来，才能满足(3)式的要
第21届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答
