年10月滨州市2015
初中数学教学研讨 会观摩课教案
22.3实际问题与二次函数（第1课时）
邹平县实验中学 牛方云
2015年10月14日
22.3实际问题与二次函数（第1课时）教学设计
【教学目标】
1.基础知识：用二次函数的知识解决几何图形的面积的最值问题。
2.基本技能：能根据图形面积的数量关系，列出二次函数的关系式；能根据具体问题的
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实际意义，计算几何图形面积最值。
3.基本思想方法：经历用二次函数解决几何面积最值问题的过程中体验数学建模思想和数学结合的思想。
4.基本活动经验：积累用二次函数解决几何图形面积问题和灵活设“元”的经验。 【教学重、难点】
重点：用二次函数的相关知识解决几何图形面积的最值问题
难点：发现问题中的数量关系，建立二次函数的模型，并转化到二次函数的相关知识解决问题。
【教学过程设计】
一、设计问题，创设情境
1.回忆一次函数都是从哪些方面进行的研究 2.二次函数我们已经研究了它的哪些方面？
接下来我们一起来研究“二次函数与实际问题”引入课题
设计意图：通过回忆一次函数的知识，明确研究函数的一般思路。 二、信息交流，揭示规律
问题1：已知二次函数S＝30x－5x你能得到哪些信息？
2，
若给这个式子以实际背景，你能利用得到的信息解决问题吗？
问题2：已知一矩形草坪的面积S（单位：m）与它的一边长x（单位：s）之间的关系式为S＝30x－5x，
(1）当边长是多少时面积最大？最大面积是多少？ (2)当边长满足4≤x<6时，最大面积是多少？
思考：1.如何求函数的最值，要注意什么问题？
2.上面一系列问题的解决依赖于题目提供的那个条件？
设计意图：通过题1让学生回忆二次函数相关知识，问题2是课本中的内容的改编,把小球问题转化成面积问题，（1）中的最值时利用顶点公式求,（2）中的最值是为了提醒学生注意求解函数问题不能离开定义域这个条件才有意义，因为任何实际问题的定义域都受现实条件的制约，做完练习后及时让学生总结出了取最值的点的位置往往在顶点和两个端点之间选择，为学习新课做好知识铺垫。
总结：1.上面每个问题的解决分别转化成二次函数哪方面的知识？
教师：这些问题的解决都依赖于题目给我们提供的二次函数的解析式，因此，解决与二次函数有关的实际问题，正确建立二次函数的解析式这一数学模型是很关键的。下面我们一起试着自己建立解析式解决问题。
问题3.自主探究
为美化校园环境，学校要用总长为40m的篱笆围成一块矩形的草坪，矩形的面积S随矩形的一边长l的变化而变化，当l是多少米时，矩形的面积最大？
教师：周长一定时，有几种围法？（无数种）既然有无数种，那能不能采取每种都试试的方法，（不能）那你打算怎么做？给学生一些时间思考，让学生说出自己的思路。最后找学生解答到黑板上。
针对结果：让学生体会正方形的面积最大，体会最优化思想。
总结：回顾解决问题的过程，你觉得如何利用二次函数的知识解决面积最大问题？ 1.分析题目中的变量。2.建立变量之间的函数关系式，3.把实际问题转化成二次函数的相关知识解决。
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设计意图：让学生自主探究，并正确的整理步骤，这个问题对学生来说应该不难，学生通过总结，理解利用二次函数解决问题的一般步骤，并进一步体会数学建模思想。
问题4.探究变式
变式一：用一段长为40米的篱笆围成一边靠墙的草坪，当这个矩形的长和宽分别为多少时，草坪面积最大？最大面积为多少？
面积可以是220吗？150呢？
AD 变式二：用一段长为40米的篱笆围成一边靠墙的草坪，墙长16米，当这个矩形的长和宽分别为多少时，草坪面积最大？最大面积为多少？
设计意图：从知识的角度来看，求矩形面积也较容易，我在此设计了一个条件墙长16米来限制定义域，目的在于告诉学生一个道理，数学不能脱离生活实际，估计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值，导致错解，此时教师再提醒学生通过画函数的图象辅助观察、理解最值的实际意义，体会顶点与端点的不同作用，加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，通过此题的有意训练，学生必然会对定义域的意义有更加深刻的理解，这样既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。
三、运用规律，解决问题
1.草坪一边靠着一堵墙(墙足够长)，另三边用40米竹篱笆围成，现有两种方案无法定夺： ①围成一个矩形；②围成一个半圆形；③围成一个直角三角形.设矩形的面积为S1平方米，半圆形的面积为S2 平方米 ，三角形的面积为S3平方米，半径为r米，请你通过计算帮学校选择一个围成区域最大的方案（π取3）
BCx
四、变练演编，深化提高
1. 分别用定长为L的线段围成矩形和圆．哪种图形的面积大?为什么?
2. 编题：请你结合今天所学的图形问题，对刚才的题目再进一步改编，出一道题目，S3 并试着解答
设计意图：1题主要是让学生通过计算进一步体会最优化思想，2题主要是考察学生对
各种类型的面积问题进行设计，考察学生的发散思维能力。由于一元二次方程都研究过这种图形，对学生来说，设计题目应该没有难度。
五、反思回顾，梳理新知
回顾本节课我们解决每个问题的过程，请你总结 1.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是什么？ 2.你有那些心得和同学们交流 教师总结：四种思想
1.建立二次函数的解析式。（建模）
2.把实际问题转换到二次函数的相关知识上进行解决。（转化） 3.结合二次函数的图像解决相关的实际问题（数形结合） 4.最优化思想 六、达标检测
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九年级数学： 22.3实际问题与二次函数(第1课时)教学设计
