1、计算下列各导数
d?x2?2 1）??01?tdt??dx??2x1?x43x21?x6。
d?1dt??3 2）
xdx?1?t2???????。
sin2xd?cosxt2?edt?? 3）??dx??sinxd 4）
dx2、若
?ecos2xsinx?ecosx。
?xxxd?0?x?t?f?t?dt?dxx?0f?t?dt??0tf?t?dt??0f?t?dt。 x????f?x?0t2dt?x2?1?x?，求f?2?。
f?x?解：因为
?0?t3?2tdt????3?0f?x?f3?x???x2?1?x??f?x??33x2?1?x? 3 f?2??336 3、求lim2??arctantdt?0xx???1?x2
2?arctanx?解：原式?limx???x?limx???1?22 ?1??arctanx??x241?x2
?x24、设f?x????xxx??0,1?，求??x???f?t?dt在?0,2?上的表达式，并讨论??x?在0x??1,2??0,2?上的连续性。
解：当0?x?1时， ??x???x0?t3?x32f?t?dt??tdt????
033??0x12x 当1?x?2时，??x???f?t?dt??t00xdt??x1?t3??t2?x21tdt????????
3226??0??11x?x3??3??x???2?x?1??26x??0,1?x??1,2?，??x?在?0,2?上连续。
5、设f?x?在?a,b?内连续，且f?x??0，记F?x???xaf?t?dt??xb1dt，求证： f?t? 1）F??x??2； 2）方程F?x??0在?a,b?内有且仅有一个根。 证明：1）F??x??f?x??11?2f?x??2 ????fxfx 2）唯一性：因为F??x??2?0，所以F?x?在?a,b?内单调增加，方程F?x??0在
?a,b?只能有一个根。
存在性：F?a???abb1b1dt???dt?0，F?b???f?t?dt?0，由零点定理，
aaf?t?f?t?方程F?x??0在?a,b?必有一个根。 6、证明：
32?4?。 ??1xarctanxdx?993证明：因为?arctanx???11?x?3时，?arctanx???0 ，当21?x3所以在区间?313???1?,3?上有x?xarctanx?x，由比较性质有
63?3?33??6313xdx??1xarctanxdx??13?3xdx
33而
??2????xdx??x2??,16129??33??134???? xdx??x2??1369??33所以
32?4?。 ??1xarctanxdx?993
作业25微积分基本定理
