基本不等式应用
一：直接应用求最值 例1：求下列函数的值域
11
（1）y＝3x 2＋ 2 （2）y＝x＋
2xx1
解：（1）y＝3x 2＋ 2 ≥2
2x
1
3x 2· 2 ＝6 ∴值域为[6 ，+∞）
2x
1
x· ＝2； x
1
x· =－2 x
1
（2）当x＞0时，y＝x＋ ≥2
x
11
当x＜0时， y＝x＋ = －（－ x－ ）≤－2
xx∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
二：凑项 例2：已知x?5，求函数y?4x?2?1的最大值。 44x?5解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又(4x?2)1不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项， 4x?5511??x?,?5?4x?0，?y?4x?2????5?4x???3??2?3?1
44x?55?4x??当且仅当5?4x?1，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。 5?4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 变式 y?2x?1,x?3 x?3时，求y?x(8?2x)的最大值。
三：凑系数 例3. 当
解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8为定值，故只需将y?x(8?2x)凑上一个系数即可。 当，即x＝2时取等号 当x＝2时，y?x(8?2x)的最大值为8。 评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。 变式1：设0?x?3，求函数y?4x(3?2x)的最大值。 2232x?3?2x?9?解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2??? 222??当且仅当2x?3?2x,即x?3?3???0,?时等号成立。 4?2?x 2＋
y 2
＝1，求x1＋y 2 的最大值. 2
变式2：已知x，y为正实数，且
a 2＋b 2
分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤ 。
2同时还应化简下面将x，1＋y 2
中
y2前面的系数为
1
， x1＋y 2 ＝x 2
1＋y 22· ＝2 x·2
1y 2 ＋ 22
1y 2 ＋ 分别看成两个因式： 22
x·
x＋(
1y 2
＋ ≤22
2
1y 22y 21 2 ＋ )x＋ ＋ 22223
＝ ＝ 即x1＋y 2 ＝2 ·x
224
1y 23
＋ ≤ 2 224
四： 分离
x2?7x?10(x??1)的值域。 例4. 求y?x?1解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。 当
,即
时,y?2（x?1)?4?5?9（当且仅当x＝1时取“＝”号）。 x?1解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。 当
,即t=
时,y?2t?4?5?9（当t=2即x＝1时取“＝”号）。 t评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为y?mg(x)?A?B(A?0,B?0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。 g(x)的值域。
变式 求函数y?x2?5x?422解：令x2?4?t(t?2)，则y?x?5?x2?4x2?4?1?t?(t?2)
tx2?41因t?0,t??1，但t?解得t??1不在区间?2,???，故等号不成立，考虑单调性。 因为y?t?在区间?1,???单调递增，所以在其子区间?2,???为单调递增函数，故y?所以，所求函数的值域为?,???。 五：与指数或对数运算性质结合
例5.若实数满足a?b?2，则3?3的最小值是 . 分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3?3定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解： 3和3都是正数，3?3≥23a?3b?23a?b?6
当3?3时等号成立，由a?b?2及3?3得a?b?1即当a?b?1时，3?3的最小值是6． 变式：若log4x?log4y?2，求
ababababab1t1t1t5。 2?5?2??abab11?的最小值.并求x,y的值 xy六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 例6：已知x?0,y?0，且
19??1，求x?y的最小值。 xy错解：．．
x?0,y?0，且?1x9???1，?x?y??1?9??x?y??292xy?12 故 ?x?y?min?12 。 yxy?xy?错因：解法中两次连用基本不等式，在x?y?2xy等号成立条件是x?y，在1?9?29等号成立xyxy条件是
19
?即y?9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出xy
等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。 正解：
?19?y9x19x?0,y?0,??1，?x?y??x?y???????10?6?10?16
xy?xy?xy当且仅当
19y9x?时，上式等号成立，又??1，可得x?4,y?12时，?x?y?min?16 。
xyxy?变式： （1）若x,y?R且2x?y?1，求1?1的最小值
xy?(2)已知a,b,x,y?R且a?b?1，求x?xyy的最小值
利用基本不等式求最值的技巧
