一、第七章 万有引力与宇宙航行易错题培优（难）
1．如图所示，A是静止在赤道上的物体，地球自转而做匀速圆周运动。B、C是同一平面内两颗人造卫星，B位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上，C是地球同步卫星。已知第一宇宙速度为v，物体A和卫星B、C的线速度大小分别为vA、vB、vC，运动周期大小分别为TA、TB、TC，下列关系正确的是（ ）
A．TA=TC＜TB C．vA＜vC＜vB＜v 【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】
AB．由题意，A是静止在赤道上的物体，C是地球同步卫星，故有TA?TC，又由于B、C是同一平面内两颗人造卫星，由万有引力提供向心力可知
B．TA=TC＞TB D．vA＜vB＜vC＜v
Mm4?2G2?m2r rT解得
4?2r3 T?GM即轨道半径越大，周期越大，由于C的轨道半径大于B的轨道半径，则TB?TC，联立上式，可得
TA=TC＞TB
故A错误，B正确；
CD．由于B、C是同一平面内两颗人造卫星，由万有引力提供向心力可知
Mmv2G2?m rr解得
v?GM r也就是说，轨道半径越大，线速度越小，故有vB?vC，又因为A、C具有相同的周期和角速度，所以有vC?vA，又因为第一宇宙速度是最大的环绕速度，故有v?vB，结合以上分析可知
vA＜vC＜vB＜v
故C正确，D错误。 故选BC。
2．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转的速率，如果超出了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤附近的物体随星球做圆周运动,由此能得到半径为R,密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T，下列表达式正确的是：（ ）
33RA．T?2? GM3RB．T?2? GMC．T?3? G?D．T?? G?【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】
AB.当周期小到一定值时，压力为零，此时万有引力充当向心力，即
GMm4?2R?m2 2RT解得：
R3 ① T?2?GM故B正确，A错误； CD. 星球的质量
4M?ρV?πρR3
3代入①式可得：
T?故C正确，D错误．
3? G?
3．2024年也是我国首颗人造卫星“东方红一号”成功发射50周年。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星“东方红一号”，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440km，远地点高度约为2060km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786km的地球同步轨道上。设东方红一号在近地点的加速度为a1，线速度v1，东方红二号的加速度为a2，线速度v2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，线速度v3，则下列大小关系正确的是（ ） A．a2?a1?a3 【答案】BC 【解析】
B．a1?a2?a3
C．v1?v2?v3
D．v3?v2?v1
【分析】 【详解】
AB．对于两颗卫星公转，根据牛顿第二定律有
G解得加速度为a?Mm?ma r2GM，而东方红二号的轨道半径更大，则a1?a2；东方红二号卫星为2ra??2r
地球同步卫星，它和赤道上随地球自转的物体具有相同的角速度，由匀速圆周运动的规律 且东方红二号卫星半径大，可得a2?a3，综合可得a1?a2?a3，故A错误，B正确；
?，需要点火加速变为椭圆CD．假设东方红一号卫星过近地点做匀速圆周运动的线速度为v1?；根据万有引力提供向心力有 轨道，则v1?v1Mmv2G2?m rr得卫星的线速度v?GM??v2；东方红二号卫星可知，东方红二号的轨道半径大，则v1r为地球同步卫星，它和赤道上随地球自转的物体具有相同的角速度，由匀速圆周运动的规律有
v??r
??v2?v3，故C正确，D错误。 且东方红二号卫星半径大，可得v2?v3，综上可得v1?v1故选BC。
4．在地球上观测，太阳与地内行星（金星、水星）可视为质点，它们与眼睛连线的夹角有最大值时叫大距。地内行星在太阳东边时为东大距，在太阳西边时为西大距，如图所示。已知水星到太阳的平均距离约为0.4天文单位（1天文单位约为太阳与地球间的平均距离），金星到太阳的平均距离约为0.7天文单位，地内行星与地球可认为在同一平面内的圆轨道上运动，地球的自转方向与公转方向相同，取0.7?0.8，0.4?0.6，则下列说法中正确的是（ ）
A．水星的公转周期为0.4年
B．水星的线速度大约为金星线速度的1.3倍
6年 19D．金星两次东大距的间隔时间比水星短 【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】
C．水星两次东大距的间隔时间大约
A．行星绕太阳公转时，由万有引力提供向心力，则得
Mm4?2G2?m2r rT可得行星公转周期为
r3 T?2?GM式中M是太阳的质量，r是行星的公转轨道半径。 则水星与地球公转周期之比
3T水r水 ?3?0．43?0.40.4 T地r地所以水星的公转周期为
T水?0.40.4年
故A错误
B．由万有引力提供向心力得
Mmv2G2?m rr得
v?则水星的线速度与金星线速度之比
GM rv水v金则B正确。
?r金0.7??1.3 r水0.4C．设水星两次东大距的间隔时间为t。则
2??得
2?2?t?t T水T地
t?则C正确；
T地T水T地?T水?1?0.40.46年?年
191?0.40.4D．因金星的周期长，则金星两次东大距的间隔时间比水星长，则D错误。 故选BC。
5．如图所示为科学家模拟水星探测器进入水星表面绕行轨道的过程示意图，假设水星的半径为R，探测器在距离水星表面高度为3R的圆形轨道I上做匀速圆周运动，运行的周期为T，在到达轨道的P点时变轨进入椭圆轨道II，到达轨道II的“近水星点”Q时，再次变轨进入近水星轨道Ⅲ绕水星做匀速圆周运动，从而实施对水星探测的任务，则下列说法正确的是（ ）
A．水星探测器在P、Q两点变轨的过程中速度均减小 B．水星探测器在轨道II上运行的周期小于T
C．水星探测器在轨道I和轨道II上稳定运行经过P时加速度大小不相等
D．若水星探测器在轨道II上经过P点时的速度大小为vP，在轨道Ⅲ上做圆周运动的速度大小为v3，则有v3>vP 【答案】ABD 【解析】 【分析】 【详解】
AD．在轨道I上运行时
GMmmv12 ?r2r而变轨后在轨道II上通过P点后，将做近心运动，因此
2GMmmvP ?2rr则有
v1?vP
从轨道I变轨到轨道II应减速运动；而在轨道II上通过Q点后将做离心运动，因此
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