一、 知识热点和复习策略
数列的基础和重点内容:等差、等比数列的定义、通项、中项、前n项和 1．数列的定义
按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)． 2．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 3．数列的递推公式
如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)(或an＝f(an－1，an－2)等)，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式． 4．Sn与an的关系
已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2，这个关系式对任意数列均成立． 注意:
(1)通项公式与前n项和公式的灵活应用。
如等差数列: an =a1 +(n-1)d=dn+(a1-d)=am +(n- m)d
Sn=na+
n(n?1)2
??=??2+(a1-)n
2
2
??1(1?????)1???
????
(2)公式条件
如等比数列q≠1时，Sn=
(3)公式的导出思想:倒序相加法与错位相减法等。 2.等差、等比数列的三个充要条件:
(1)数列{an}是等差数列?an=an+b (a.b 是常数) (2)数列{an}是等差数列?Sn=an+bn (a,b是常数) (3)非常数列{an}是等比数列?Sn=a(bn-1) (a≠0,b≠0,1，且是常数)
3.在解决等差数列和等比数列的问题时，充分应用题中涉及的概念、通项公式、前n项和公式及有
关性质，布列等式、消元、解方程、赋值法、存在性问题的反设推导法，可以减少运算量，提高解题效率及准确度。
考法一 利用an与Sn的关系求通项
数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系为an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2，通过纽带：an＝Sn－Sn－1(n≥2)，根据题目已知条件，消掉an或Sn，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解． [方法技巧]
已知Sn求an的3个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1；
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an
的表达式；
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写． 考法二 利用递推关系求通项
[方法技巧] 典型的递推数列及处理方法
递推式 an＋1＝an＋f(n) 方法 叠加法 示例 a1＝1，an＋1＝an＋2n an＋1a1＝1，＝2n ana1＝1，an＋1＝2an＋1 an＋1＝anf(n) an＋1＝Aan＋B (A≠0,1，B≠0) an＋1＝Aan Ban＋C叠乘法 化为等比数列 化为等差数列 a1＝1，an＋1＝(A，B，C为常数) 3an 2an＋3数列的性质 [基本知识]
数列的分类
分类标准 按项数分类 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 按项与项间的大小关系分类 递减数列 常数列 按其他标准分类 有界数列 摆动数列 an＋1>an an＋1 求数列最大项或最小项的方法 (1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项． ???an≥an－1，?an≤an－1，?(2)通过通项公式an研究数列的单调性，利用(n≥2)确定最大项，利用?(n≥2)?an≥an＋1?an≤an＋1?? 确定最小项． (3)比较法： an＋1 ①若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0( 或an>0时，a>1 )，则an＋1>an，即数列{an}是递增数列，所以 n 数列{an}的最小项为a1＝f(1)； an＋1 ②若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)<0( 或an>0时，a<1 )，则an＋1 n 数列{an}的最大项为a1＝f(1)． 考法二 数列的周期性 数列的周期性与函数的周期性相类似．求解数列的周期问题时，通常是求出数列的前几项观察规律．确定出数列的一个周期，然后再解决相应的问题． [方法技巧] 周期数列的常见形式与解题方法 (1)周期数列的常见形式 ①利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数； ②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差； ③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列． (2)解决此类题目的一般方法 根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和． [基本知识] 1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋ n?n－1?n?a1＋an? d＝. 22 [方法技巧] 解决等差数列基本量计算问题的思路 (1)在等差数列{an}中，a1与d是最基本的两个量，一般可设出a1和d，利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程(组)求解即可． (2)与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式an＝a1＋(n－1)d和前n项和公式Sn＝n?a1＋an?n?n－1? ＝na1＋d，在两个公式中共涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，已知其中三个量，选用恰当22的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量． [基本知识] a＋b ，其中A叫做a，b的等差中项． 2 等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d. (5)S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，遇见S奇，S偶时可分别运用性质及有关公式求解． anS2n－1(6)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则b＝. T2n－1n ?Sn?1 (7)若{an}是等差数列，则?n?也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的. 2?? (8)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S偶－S奇＝nd， S奇an ＝. S偶an＋1 (9)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则 ①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②[方法技巧] 利用等差数列的性质求解问题的注意点 (1)如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现am－n，am，1 am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am＝(am 2 －n S奇n＋1＝n. S偶 ＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值． an－am (2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－m)d，d＝，S2n－1＝(2n n－m －1)an，Sn＝ n?a1＋an?n?a2＋an－1? ＝(n，m∈N*)等． 22 [提醒] 一般地，am＋an≠am＋n，等号左、右两边必须是两项相加，当然也可以是am－n＋am＋n＝2am. 考法二 等差数列前n项和最值问题 等差数列的通项an及前n项和Sn均为n的函数，通常利用二次函数法或通项变号法解决等差数列前n项和Sn的最值问题． [方法技巧] 求等差数列前n项和Sn最值的2种方法 (1)二次函数法 利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． (2)通项变号法 ??am≥0， ①a1>0，d<0时，满足?的项数m使得Sn取得最大值为Sm； ?a≤0＋?m1 ?am≤0，? ②当a1<0，d>0时，满足?的项数m使得Sn取得最小值为Sm. ?a≥0?m＋1 突破点三 等差数列的判定与证明 [方法技巧] 等差数列的判定与证明方法 方法 定义法 等差中项法 通项公式法 前n项和公式法 2an－1＝an＋an－2解读 对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数?{an}是等差数列 (n≥3，n∈N*)成立?{an}是等差数列 适合题型 解答题中的证明问题 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立?{an}是等差数列 验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立?{an}是等差数列 选择、填空题定中的判问题 [提醒] 判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1 ＝d这一关键条件． 突破点一 等比数列的基本运算 [基本知识] 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列an＋1 就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q. an (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?G2＝ab. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn1. na1，q＝1，?? (2)前n项和公式：Sn＝?a1?1－qn?a1－anq ＝，q≠1.?1－q?1－q [方法技巧] 解决等比数列基本量计算问题的常用思想方法 (1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解． (2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项 －
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