2009级研究生《数值分析》试卷
2y一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为u(x,y)?3x2y?，其中，x,y由
x统计方法得到，分别为x?2,y?4,统计方法的误差限为0.01,试求出u的误差限
?(u)和相对误差限?r(u).
二.(6分) 已知函数f(x)?3x3?1计算函数f(x)的2阶均差f[0,1,2],和4阶均差f[0,1,2,3,4].
111三.(6分)试确定求积公式: ?0f(x)dx?[f(0)?f(1)]?[f'(0)?f'(1)]的代数精
212度.
四.(12分) 已知函数f(x)?2x?x?2x?1定义在区间[-1,1]上,在空间
32?(x)?Span{1,x,x2}上求函数f(x)的最佳平方逼近多项式.
4324其中,权函数?(x)?1,(f(x),?0(x))??,(f(x),?1(x))?,(f(x),?2(x))??.
31515五.(16分) 设函数f(x)满足表中条件:
k 0 0 1 1 1 0 -2 2 2 1 0 xk f(xk) f'(xk) (1) 填写均差计算表(标有*号处不填):
k 0 1 2
xk 0 1 2 f[xk] f[xk,xk?1] *** f[xk,xk?1,xk?2] *** *** (2) 分别求出满足条件L2(xk)?f(xk),N2(xk)?f(xk),(k?0,1,2)的 2次 Lagrange 和 Newton差值多项式.
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(3) 求出一个四次插值多项式H4(x),使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示. 六.(16分)
(1). 用Romberg方法计算?13xdx,将计算结果填入下表(*号处不填).
k 0 1 2 3 T2 kS2 k?1C2 k?2R2 k?3 2.79306 2.79634 *** 2.79734 1*** *** 2.79740 2*** *** *** (2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式?f(x)dx??Akf(xk)的Gauss点xk与系数
?1k?0Ak,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ?1xdx.
七.(14分)
(1) 证明方程x?lnx?2?0在区间(1,?)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: |xk?1?xk|?10). 八. (12分) 用追赶法求解方程组:
?53?21??x1??1????????131??x2??2???? ????111x32???????????21??x4??0???的解.
?y'?f(x,y)九. (12分) 设求解初值问题?的计算格式为:
?y(x0)?y0yn?1?yn?h[af(xn,yn)?bf(xn?1,yn?1)],假设y(xn)?yn,y(xn?1)?yn?1,试确定参数a,b的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: o(h3).
2008年春季学期数值数学试题
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一．（10分）设给实数a?0，初值x0?0：
1⑴试建立求的Newton迭代公式，要求在迭代函数中不含除法运算；
a2⑵证明给定初值x0，迭代收敛的充分必要条件为0?x0?；
a⑶该迭代的收敛速度是多少？
1⑷取x0?0.1，计算的近似值，要求计算迭代三次的值（结果保留5位小数）。
5二．（10分）试确定参数a,b,c，使得下面分段多项式函数s(x)是三次样条函数。
?x3 ,0?x?1? s(x)??132??(x?1)?a(x?1)?b(x?1)?c,1?x?3?2 s(x)是否是自然样条函数？
三．（10分）利用Dollite三角分解方法求解方程组
?121??x1??0??223??x???3? ???2??????1?30????x3????2??四．（10分）给定3阶线性方程组
?12?2??x1??5??111??x???1? ???2?????221????x3????3??讨论其Jacobi迭代格式的收敛性
五．（10分）推导出中矩形求积公式?f(x)dx?(b?a)f(a?b) ，并求出其截断误差。 ab2
六．（10分）已知一组试验数据：
xi 1 2 3 20 4 15 yi 60 30 用最小二乘法确定拟合公式y?aebx中的参数a,b。 七．（10分）根据已知函数表：
xi f(xi) 0 1 1 9 2 23 4 3 建立不超过三次的Newton插值项式。
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八．（10分）试确定常数A0,A1,使求积公式
?1?1f(x)dx?A0f(?11)?A1f() 33 有尽可能高的代数精度,并指出代数精度是多少,该公式是否是Gauss型?并用此 31公式计算积分I??dx（结果保留5位小数）。
1x九．（10分）利用经典四阶Runge-Kutta方法求初值问题：
?y???20y, ??y(0)?10?x?1
在x?0.2处的数值解（取步长h?0.1）。
12??1 10．（10分）讨论两步方法 yn?1?(4yn?yn?1)?hyn33的局部截断误差，求出它的局部阶段误差的首项（主部），它是多少阶的？ （在线性多步法的局部截断误差中
pp?1?r Cr??1?[?(?i)ai?r?(?i)r?1bi]?,r?2,3,r!?i?0i??1? ）
2003年研究生“数值分析”试题
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一，（8分）设a?0为实数，试建立求
1的Newton迭代公式，要求在迭代函数中不含除法运a算，并证明：当初值x0满足0?x0?2时，此格式时收敛的。 a?123??x1??14???????二，（6分）用Doolittle分解法解方程组?252??x2???18?
?315??x??20????3????10a0??，detA?0，b10bb表示方程组Ax?d的Jacobi迭代法及Gauss三，（8分）设A??用a，????0a5??－Seidel迭代法收敛的充分必要条件。
?10?1??1/2?????11四，（8分）设方程组Ax?b，其中A??221?，b??1/3?。已知它有解x?(,?,0)T，
23?021???2/3?????如果右端有小扰动?b??1?10?6，试估计由此引起的解的相对误差。 2五，（10分）求出一个次数不高于4次的Hermite插值多项式P(x)，使它满足P(0)?P'(0)?0，
P(1)?P'(1)?1，P(2)?1，并写出余项表达式。
六，（6分）用Romberg方法计算积分?e?xdx，计算到T3.0。
01 七，（6分）已知函数表 xi f(xi) 求有理插值函数R(x)。 八，（6分）设
0 1 1 1 2 2 1 5 3 1 10 4 1 17?x3?x2（1）f(x)??32?2x?bx?cx?1?aex?2x?1x?0（2）f(x)??3
x?0?x?bx?10?x?1 是以0，1，2为节点的三次样条函数，求出b,c。
1?x?2是以0节点的三次样条函数，求出a,b。
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2000-2009哈工大研究生《数值分析》历年试卷
