乙从B地出发比甲早4?1?5(分钟)，走到C地被甲追上，相当于甲走400米比乙少用5分钟，
600?5?7.5(分钟)．所以甲比乙提前7.5分钟回到A地． 400【例 35】 （2005年“祖冲之杯”小学数学邀请赛）如图所示，有A、B、C、D四个游乐景点，在连接它
们的三段等长的公路AB、BC、CD上，汽车行驶的最高时速限制分别是120千米、40千米和60千米。一辆大巴车从A景点出发驶向D景点，到达D点后立刻返回；一辆中巴同时从D点出发，驶向B点。两车相遇在C景点，而当中巴到达B点时，大巴又回到了C点，已知大巴和中巴在各段公路上均以其所能达到且被允许的速度尽量快地行驶，大巴自身所具有的最高时速大于60千米，中巴在与大巴相遇后自身所具有的最高时速比相遇前提高了12.5%，求大巴客车的最高时速。
那么对于剩下的600米，甲比乙要少用
ABCD
【解析】 由于AB、BC、CD三段公路等长，不妨设AB?BC?CD?60千米，大巴从C→D→C用
，此时中巴从C→B，速度为60?2?30（千米/小时），所以中巴从D→C60?2?60?2（小时）
的速度为30?(1?12.5%)?80809（千米/小时），用时为60??（小时），这也是大巴从A→B→C3349333用的时间．大巴在BC上最少用60?40?（小时），所以大巴在AB上最多用??（小时）．大
42423． ?80（千米）
4【巩固】 从甲市到乙市有一条公路，它分成三段．在第一段上，汽车速度是每小时40千米；在第二段上，
汽车速度是每小时90千米；在第三段上，汽车速度是每小时50千米．己知第一段公路的长恰好是第三段的2倍，现有两汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行，1小时20分后，在第
巴的最高时速为60?二段从甲到乙方向的
1处相遇．那么，甲、乙两市相距多少千米？ 3CD
【解析】 如图所示，A、B、C、D分别为三段路的端点，E为两车相遇的地点．由于AB为CD的两倍，
而汽车在AB上的速度为40千米/时，在CD上的速度为50千米/时，所以汽车在AB上与在CD上
所用的时间之比为BE?2131:?5:2，即在AB上比在CD上多用了的时间；由于BE?BC，所以405023ABE1EC，而汽车在整个BC段上速度都是相同的，所以汽车在EC上所用的时间是汽车在BE2上所用的时间的2倍，即多用了1倍的时间．由于两辆汽车同时出发，在E处相遇，两车所用的
时间相同，所以在CD上所用的时间的
3倍等于在BE上所用的时间，可以得到在CD上所用的时2间与在BE上所用的时间之比为2:3，那么可以得到在AB、BE、EC、CD四段上所用的时间之比为5:3:6:2．汽车在AB与BC段上所用的时间之比为5:9，速度之比为40:90?4:9，所以
AB与BC段的长度之比为?5?4?:?9?9??20:81．由于汽车从A到E用了1小时20分钟，所以
1555100在AB段上所用的时间为1?千米，那么从A到D的?小时，AB段的长度为40??35?3663100?811?距离为??1????185千米．
3?202?【例 36】 现在甲乙两辆车往返于相距20千米的A、B两地，甲车先从A地出发，9分钟后乙车也从A地
出发，并且在距离A地5千米的C地追上甲车。乙车到B地之后立即向A地原速驶回，甲车到
3-2-6.变速问题.题库 教师版 page 11 of 14 B地休息12分钟之后加快速度向A地返回，并在C地又将乙车追上。那么最后甲车比乙车提前多少分钟到A地？
【解析】 根据题意可知，按照出发时的速度，乙车走5千米比甲车少用9分钟，那么乙车走15千米比甲
车少用27分钟，也就是说乙车比甲车早27分钟到达B地．到达B地后，乙车立即返回，而甲车则停留12分钟，所以甲车比乙车晚27?12?39分钟从B地返回．返回时甲车提高了速度，所以在乙车开出15千米后追上乙车，说明返回时每走15千米甲车比乙车少用39分钟，那么走5千米甲车比乙车少用13分钟．而剩下的路恰好5千米，所以甲车比乙车提前15分钟到A地．
模块二、变道问题
【例 37】 （2005年《小学生数学报》优秀小读者评选活动）有一种机器人玩具装置，配备长、短不同的
两条跑道，其中长跑道长400厘米，短跑道长300厘米，且有200厘米的公用跑道(如下图)。机器人甲按逆时针方向以每秒6厘米的速度在长跑道上跑动，机器人乙按顺时针方向以每秒4厘米的速度在短跑道上跑动。如果甲、乙两个机器人同时从A点出发，那么当两个机器人在跑道上第3次迎面相遇时，机器人甲距离出发点A点多少厘米?
A200100200
【解析】 第一次在B1点相遇，这时甲、乙共跑了400厘米(见左下图)；
A200100200A200100B1200B2B1
第二次在B2点相遇，这时甲、乙又共跑了700厘米(见右上图)；
同理，第三次相遇时，甲、乙又共跑了700厘米．
那么到第三次相遇时两者共跑了400?700?700?1800厘米，共用时间1800?(6?4)?180（秒），甲跑了6?180?1080（厘米），距A点400?3?1080?120（厘米）．
【例 38】 （2007年首届全国资优生思维能力测试）如下图，甲从A出发，不断往返于AB之间行走。乙
从C出发，沿C—E—F—D—C围绕矩形不断行走。甲的速度是5米/秒，乙的速度是4米/秒，甲从背后第一次追上乙的地点离D点 米。
3-2-6.变速问题.题库 教师版 page 12 of 14 EACFDB
【解析】 若甲要从背后追上乙，只有甲从D→C时才有可能，且当甲到达D时，在DC上乙离D的距离不
能超过120?120?5?4?24米．而甲第一次以上述行走方向到达D时，要用(80?120?100?100)?5?80秒，以后每隔(80?120?100)?2?5?120秒到达一次．乙走一圈的距离为(120?30)?2?300米．设当甲第x次以上述行走方向到达D时，乙在DC上离D的距离不超过24米．由于此时甲共走了[80?120(x?1)]秒，所以乙走了4?[80?120(x?1)]米，而乙走的路程
比300米的整数倍多出来的部分在30?2?120?180米和180?24?204米之间，所以有
即(480x?160)除以300的余数在180~2044?[80?120(x?1)]除以300的余数在180到204之间，
之间．即480x除以300的余数在40~64之间，也即180x除以300的余数在40~64之间．显然当
x?2时，360?300的余数为60，在40~64之间．这时，乙走了4?[80?120?(2?1)]?800米，离D点800?300?2?180?20米．那么当甲追上乙时离D点20?(5?4)?5?100米．
【例 39】 如图，两个圆环形跑道，大圆环的周长为600米，小圆环的周长为400米。甲的速度为每秒6
米，乙的速度为每秒4米。甲、乙二人同时由A点起跑，方向如图所示，甲沿大圆环跑一圈，就跑上小圆环，方向不变，沿小圆环跑一圈，又跑上大圆环，方向也不变；而乙只沿小圆环跑。问：甲、乙可能相遇的位置距离A点的路程是多少？(路程按甲跑的计算)
甲的方向甲的方向AC=80米，CD=EF=120米，CE=DF=30米，DB=100米乙的方向
【解析】 根据题意可知，甲跑的路线是“8”字形，乙跑的路线是小圆环．甲绕大圆环跑一周需要100秒，
乙绕小圆环跑一周也需要100秒．所以两人的第一次相遇肯定是在A点；而以后在小圆周上肯定还有相遇点．由于两人都是周期性运动，乙的情况较为简单，如果以乙为中心，可以看出，每次乙回到A点，如果甲也在A点，则两人在A点相遇；如果甲不在A点，则此时甲相当于顺时针跑，乙则逆时针跑，这是一个相遇问题，必定在小圆周上相遇．设乙第m次回到A点的时间为t秒，则t?100m，此时甲跑了6?100m?600m米．而甲一个周期为600?400?1000米，因此，t时刻
600m3m?3m??3m?600m甲跑了个周期．而??????，其中整数部分表示甲回到A点，小数部分10005?1000?5??5??3m?表示甲又从A点跑了一部分路程，但是不到一个周期，这一部分路程的长度是???1000米．由
?5?此，我们可以算出甲的位置：
3m? 5k 5k?1 5k?2 5k?3 5k?4 小数部分表示的路程 甲、乙相距的路程 甲、乙相遇还需的时间 甲、乙相遇的位置 0 0 0 0 200 800 80 80 400 600 60 160 600 400 40 240 800 200 20 320 3-2-6.变速问题.题库 教师版 page 13 of 14 ?3m?以其中的第三列(5k?1)为例进行说明：这一列表示3m?5k?1，于是???1000?200，这表
?5?明甲回到A点后又跑了200米，此时乙在A点处，甲要跑完大圆周再在小圆周上与乙相遇，此时两人相距1000?200?800米，所以需要的时间为800?(4?6)?80秒，在80秒内乙跑了
4?80?320米，所以在这种情况下甲在小圆周上跑的路程为400?320?80米，这就是此时相遇点与A点的距离．其它情况同理可得．
所以甲、乙可能相遇的位置在距离A点顺时针方向320米，240米，160米，80米和0米．
3-2-6.变速问题.题库 教师版 page 14 of 14
变速问题（带答案）
