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中考动点专题
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:动中求静.
数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 例1(2005年·)如图3(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EP⊥ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.
(1)求证: △ADE∽△AEP.
F (2)设OA=x,AP=y,求y关于
P B x的函数解析式,并写出它的定义域.
B F (3)当BF=1时,求线段AP的长. P D
D ● C ● A E O C E O
3(2) 3(1)
（二）线动问题
在矩形ABCD中，AB＝3，点O在对角线AC上，直线l过点O，且与AC垂直交AD于点E.
(1)若直线l过点B，把△ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A＇重合，求BC的长； (2)若直线l与AB相交于点F，且AO＝
A
1AC，设AD的长为x，五边4A O E 形BCDEF的面积为S.①求S关于x的函数关系式，并指出x的取值围；
l
D A′
3②探索：是否存在这样的x，以A为圆心，以x?长为半径的圆与直
4线l相切，若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
121x?9，AF?(x2?9)，(2)①AC?x2?9，AO?412x2?9AE?
4xB C
∴S?AEF(x2?9)2(x2?9)21，S?3x? ?AE?AF?96x96x2i. .w.
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?x4?270x2?81S? (3?x?33)
96x②若圆A与直线l相切，则x?31288?x?9，x1?0(舍去)，x2?∵x2??3∴不4455存在这样的x，使圆A与直线l相切．
[类题]09虹口25题．
（三）面动问题
如图，在?ABC中，AB?AC?5,BC?6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG.
（1）试求?ABC的面积；
（2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长； （3）设AD?x，?ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关
于x的函数关系式，并写出定义域；
（4）当?BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长． [题型背景和区分度测量点]
本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例七,典型的共角相似三角形问题,试题为了形成坡度，在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当D点在AB边上运动时，正方形DEFG整体动起来，GF边落在BC边上时，恰好和教材中的例题对应，可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属于面积类习题来设置区分测量点一，用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二． [区分度性小题处理手法]
ADBGEFCADBGAEFCBDKUG图3-2FEADCBG图3-3AEFCBDGKEFCDBGAK图3-5EF
C图3-1图3-41．找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上图3-1、3-2重叠部分分别为正方形和矩
形包括两种情况．
2．正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图3-3、3-4、3-5用方程思想解决． 3．解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段. [ 略解]
解：（1）S?ABC?12.
（2）令此时正方形的边长为a，则
a4?a12?，解得a?. 6452362?6?（3）当0?x?2时， y??x??x，
25?5?i. .w.
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当2?x?5时， y? （4）AD?6424242x??5?x??x?x. 555251252520,,. 73117[类题] 改编自09奉贤3月考25题，将条件（2）“当点M、N分别在边BA、CA上时”,去掉，同时加到第（3）题中.
已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=30o，BC=6，点D在边
F A M N BC上，点E在线段DC上，DE=3，△DEF是等边三角形，
边DF、EF与边BA、CA分别相交于点M、N． （1）求证：△BDM∽△CEN；
（2）设BD=x，△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．
B D
E
C
（3）当点M、N分别在边BA、CA上时,是否存在点D，使以M为圆心, BM为半径的圆与直线EF相
切, 如果存在，请求出x的值；如不存在，请说明理由．
例1：已知⊙O的弦AB的长等于⊙O的半径，点C在⊙O上变化（不与A、B）重合，求∠ACB的大小 .
分析：点C的变化是否影响∠ACB的大小的变化呢?我们不妨将点C改变一下,如何变化呢？可能在优弧AB上，也可能在劣弧AB上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当点C在优弧AB上变化时，∠ACB所对的弧是劣弧AB，它的大小为劣弧AB的一半，因此很自然地想到它的圆心角，连结AO、BO，则由于AB=OA=OB，即三角形ABC为等边三角形，则∠AOB=600，则由同弧所对的圆心角与圆周角
1的关系得出：∠ACB=2∠AOB=300，
当点C在劣弧AB上变化时，∠ACB所对的弧是优弧AB，它的大小为优弧AB的一半，由∠AOB=600得，优弧AB的度数为3600-600=3000，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=1500， AB因此，本题的答案有两个，分别为300或1500.
反思：本题通过点C在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性。从
而需要分类讨论。这样由点C的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常出现。
ACOBC变式1：已知△ABC是半径为2的圆接三角形，若AB?23，求∠C的大
小.
本题与例1的区别只是AB与圆的半径的关系发生了一些变化,其解题方法与上
O1AB113?AOB?600sin?AOB?2?02OB2,则2面一致,在三角形AOB中,,即?AOB?120,
i. .w.
初中数学动点问题专题讲解简洁版
