单科标准练(二)
(满分：150分 时间：120分钟)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，B＝{x|y＝lg(x－1)}，则A∩B＝( ) A．{0,1,2,3} C．{1,2}
B．{1,2,3} D．{2,3}
D [根据题意可得，集合B＝{x|x＞1，x∈R}，所以A∩B＝{2,3}，故选D.] 12
2．在复平面内，设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数z－对应的点位于( )
2zA．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
111－i191222
B [∵z＝1＋i，∴z－＝(1＋i)－＝2i－＝－＋i，∴复数z－对应
2z2?1＋i?4442z的点位于第二象限．故选B.]
3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝8·3－a(a为常数)，则f(1)＝( )
1216
A. B. C. D.2 223
C [因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝8×3－a＝0，解得a＝8.所以f(1)16
＝－f(－1)＝.故选C.]
3
4．圆C1：x＋y－3x＝0与圆C2：(x－3)＋(y－2)＝4的位置关系为( ) A．相交 C．外切
2
2
2
2
2
2
0
xB．内切 D．相离
2
9?3?2
A [圆C1：x＋y－3x＝0，整理得其标准方程为?x－?＋y＝，所以圆C1的圆心坐标为
4?2?
?3，0?，半径r＝3.圆C：(x－3)2＋(y－2)2＝4，其圆心坐标为(3,2)，半径r＝2.所以圆C，
?2?1221
2??
C2的圆心距|C1C2|＝
?3－3?＋22＝5，又r＋r＝3＋2＝7＞5，所以两圆相交．故选A.]
?2?12
2222??
25．某校开设A类选修课3门和B类选修课4门，小明同学从中任选2门，则A，B两类课程都选上的概率为( )
A.
1 122B. 74D. 7
3C. 7
D [设3门A类选修课分别为A1，A2，A3,4门B类选修课分别为B1，B2，B3，B4，小明同学从中任选2门，基本事件有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2A3，A2B1，A2B2，
A2B3，A2B4，A3B1，A3B2，A3B3，A3B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4，共21种，
其中A，B两类课程都选上的有A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，A3B1，
A3B2，A3B3，A3B4，共12种，所以A，B两类课程都选上的概率为＝.故选D.]
6．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且7S2＝4S4，则公比q的值为( ) A．1 C.3 2
1
B．1或
2D．±
3 2
124217
C [若q＝1，则7S2＝14a1,4S4＝16a1，∵a1≠0，∴7S2≠4S4，不合题意．若q≠1，由7S2
a1?1－q2?a1?1－q4?332
＝4S4，得7×＝4×，∴q＝，又q＞0，∴q＝.故选C.]
1－q1－q42
π
7．将函数f(x)＝－cos 4x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函
8数g(x)( )
π
A．最大值为1，图象关于直线x＝对称
2
?π?B．在?0，?上单调递减，为奇函数
8???3ππ?C．在?－，?上单调递增，为偶函数
8??8
D．周期为π，图象关于点?
?3π，0?对称
?
?8?
B [函数f(x)的图象经平移后得到函数g(x)的图象，其对应的解析式为g(x)＝－cos π??π??4?x－?＝－cos?4x－?＝－sin 4x.A项，g(x)＝－sin 4x的最大值为1，其图象的对称轴
8?2???πkππ
方程为4x＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，所以A项错误；B项，g(x)＝－sin 4x248的单调递减区间为?
?kπ－π，kπ＋π?(k∈Z)，所以函数g(x)在?0，π?上单调递减，且为奇
?828?8??2???
函数，所以B项正确；C项，g(x)＝－sin 4x为奇函数，所以C项错误；D项，g(x)＝－sin 4x
2ππ?kπ，0?(k∈Z)，所以D项错误．故选B.]
的周期Τ＝＝，其图象的对称中心为??42?4?
8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中最长棱的长度为( )
A．4 B．5 C.13 D.26
D [三视图还原的几何体是一个侧面垂直于底面的三棱锥，记为三棱锥A-BCD，如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD于点F，连接
CE，AF，由三视图可得，AE＝4，BD＝4，BE＝3，ED＝1，BF＝2，FD＝2，CF＝3.所以CE2＝CF2＋FE2＝9＋1＝10，AC2＝CE2＋AE2＝10＋16＝26，AB2
＝BE＋AE＝9＋16＝25，AD＝AE＋DE＝16＋1＝17，BC＝DC＝FD＋CF＝2＋3＝13，所以最长的棱为AC，其长度为26.故选D.]
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x2y2
9．双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝3，过点F1作
ab倾斜角为θ的直线交双曲线的右支于点M，若MF2垂直于x轴，则θ＝( )
A．30° C．30°或150°
B．60° D．60°或120°
2
b2|MF2|bc222
C [法一：设点M在x轴上方，则|MF2|＝，tan θ＝＝，∵c＝a＋b，e＝＝
a|F1F2|2aca3，∴tan θ＝
3
，θ＝30°；当点M在x轴下方时，同理可得θ＝150°.故选C. 3
2c，|MF2|cos θ法二：当θ为锐角时，在Rt△MF1F2中，∠MF1F2＝θ，|F1F2|＝2c，|MF1|＝＝2c·tan θ，∴2a＝|MF1|－|MF2|＝
2c2c2c－2c·tan θ，∴e＝＝＝cos θ2a2c－2c·tan θcos θ1
1
－tan θcos θcos θ1322
＝＝3，又sinθ＋cosθ＝1，∴sin θ＝，cos θ＝，∴θ1－sin θ22
＝30°；同理可得，当θ为钝角时，θ＝150°.故θ为30°或150°.故选C.]
?1?10．已知数列{an}，a1＝2，点?an，an＋1＋1?在函数f(x)＝2x＋3的图象上．数列{bn}满足
?2?
bn＝2，Tn为数列{bn}的前n项和，则Tn＝( )
an－1
A．2n C.
B.D.1
4n－1
2
1
n 2n＋1n
2?2n＋1?
1
C [由题意得an＋1＋1＝2×an＋3，即an＋1－an＝2，又a1＝2，所以数列{an}是以2为首项、
211
2为公差的等差数列．所以数列{an}的通项公式为an＝2＋(n－1)×2＝2n.所以bn＝2＝
4n－12
?1－1?.于是T＝1??1－1?＋?1－1?＋…＋?1－1??＝n.故选C.] ?2n－12n＋1?n??3??35??2n－12n＋1??2n＋1
2??????????
11．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M，N分别是棱AA1，
BC上的动点，若MN＝2，则线段MN的中点P的轨迹是( )
A．一条线段 B．一段圆弧 C．一个球面区域 D．两条平行线段
B [连接AN，AP(图略)，易知△MAN为直角三角形．因为MN＝2，P为线段MN的中点，所以AP＝
22
，因此点P到点A的距离为定值，所以点P在以点A为球心，为半径的球面上22
运动，记此球为球O，分别取A1B1，D1C1，DC，AB的中点E，F，G，H，并顺次连接，则MA∥平面EFGH.记AN∩HG＝Q，则易知HQ为△ABN的中位线，故Q为AN的中点．连接PQ(图略)，则
PQ为△AMN的中位线，得MA∥PQ，又点Q在平面EFGH内，MA∥平面EFGH，所以点P在平面EFGH内运动，故点P的轨迹为平面EFGH与球O的球面的交线，所以点P的轨迹是一段圆弧．故
选B.]
e－2xa12．若函数f(x)＝＋在区间(2,3)上有唯一的极值点，则实数a的取值范围是3
x2
xx( )
e?－，＋∞?A.?? ?4?
2
e?－，0?B.??
?4?
2
?e?C.?2－，2? ?4?
x2
2
?e?D.?2－，＋∞? ?4?
xx2
e－2xaea－2e?x－3?a－2
C [法一：因为f(x)＝＋＝3＋，所以f′(x)＝－2.依题意，知34
xxxxxxe?x－3?a－2x2
－2＝0在区间(2,3)上有唯一的实数解，即e(x－3)－(a－2)x＝0，所以a－2＝4
xxx
e?x－3?e?x－3?e?x－4x＋6?
.令g(x)＝，则g′(x)＝.因为x∈(2,3)，所以g′(x)＞0，所223
xxx2
xxxe?e?以g(x)在(2,3)上单调递增，所以g(x)∈(g(2)，g(3))，即g(x)∈?－，0?，因此应满足－
4?4?e
＜a－2＜0，故2－＜a＜2.
4
2
22
e－2xaea－2e?x－3?a－2e?x－3?
法二：因为f(x)＝＋＝3＋，所以f′(x)＝－2.依题意，知344
x2xxxxxxxxxx－
a－2x22＝0在区间(2,3)上有唯一的实数解，即e(x－3)＝(a－2)x. x令g(x)＝e(x－3)，h(x)＝(a－2)x，易知函数g(x)在x＝2处取得极小值g(2)＝－e.
x2
2
在同一平面直角坐标系中分别画出函数g(x)，h(x)的图象(如图)，由图象可知要使两个函数
??a－2＜0，
的图象在(2,3)上有唯一的交点，应满足?
?h?2?＞g?2?，?
e
解得2－＜a＜2.
4
2
]
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在横线上)
13．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，(3a－b)⊥(a＋2b)，则向量a与b的夹角为________．
60° [∵(3a－b)⊥(a＋2b)，∴(3a－b)·(a＋2b)＝3a＋5a·b－2b＝3＋5a·b－8＝0，∴5a·b－5＝0，∴a·b＝1，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝夹角为60°.]
14．已知曲线f(x)＝xln x＋x在点A(x0，y0)处的切线平行于直线y＝3x＋19，则点A的坐标为________．
(e,2e) [由题意知，函数f(x)的定义域为{x|x＞0}，f′(x)＝(xln x)′＋1＝ln x＋2. ∵曲线f(x)在点A(x0，y0)处的切线平行于直线y＝3x＋19，∴ln x0＋2＝3，∴ln x0＝1，
2
2
a·b1
＝，∴a与b的
|a||b|2
通用版2020高考数学二轮复习单科标准练二文
