《函数的单调性与导数》教学设计
【课题】函数的单调性与导数
【教材】湘教版《高中数学》选修2-2 【课时】1课时 【教材分析】
函数的单调性与导数是湘教版选修2-2第四章第三课第一节的内容.在学习本节课之前学生已经学习了函数及函数单调性等概念，对单调性有了一定的感性和理性的认识，同时在第二课中已经学习了导数的概念，对导数有了一定的知识储备.
函数的单调性是高中数学中极为重要的一个知识点.以前学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性，学习了导数以后，利用导数来研究函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用.同时，在本课第二节要学习利用导数研究函数的极值，学习了导数研究函数的单调性，对于研究利用导数求函数的极值有重要的帮助.因此，学习本节内容具有承上启下的作用.
【学生学情分析】
课堂学生为高二年级的的学生，学生基础普遍比较好，但是学习单调性的概念是在高一第一学期学过，因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是高中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点.
在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表面上.本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性. 【教学目标】
知识点：1.探索函数的单调性与导数的关系;
2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.
能力点：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法.
2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、
转化思想.
教育点：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯.
自主探究点：通过问题的探究，体会知识的类比迁移.以已知探求未知，从特殊到一般的数学思想方法. 【教学重点】
利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间. 【教学难点】
⒈ 探究函数的单调性与导数的关系;
⒉ 如何用导数判断函数的单调性. 【教学方法】
启发式教学 【课时安排】 1 课时 【教学准备】 多媒体课件. 【教学设计说明】
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根据新课程标准的要求，本节课的知识目标定位在以下三个方面：一是能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；二是掌握判断函数单调性的方法；三是能由导数信息绘制函数大致图象.
本节课的教学设计也是围绕这些目标，利用多媒体和信息技术让学生自主探究，充分参与课堂，并从中体会学习的成功和快乐.
【教学过程】 教学环节 教师活动 学生活动 设计目的 提出问题： 思考以前学习过引导学生回顾函新课引入 的数学知识，用已数的单调性概念. 判断函数f(x)?ex?x在 有的知识来解决. (0,??)上的单调性. 学生思考、并举手利用单调性的定 函数增减性的定义是什么？ 回答. 义来解决遇到了 问题从而引出导 数. 教师指出平均变化率与瞬时学生得出函数的让学生观察平均 变化率即导数相互关系，从平均变化率的符变化率的符号与 而引出，可以用导数研究函号. 函数单调性的联 数的单调性. 系. 运用逼近的思想新课教学 写出课题 可以有平均变化 率得到瞬时变化 率，瞬时变化率可 以描述函数在其 附近的变化情况， 因此我们可以试 着用瞬时变化率 即导数来研究函 数的单调性.
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探究函数的导数与函数的单调性的关系
显示多媒体 学生观察点在区 研究函数在间(0,??)上运动. (0,??)上的单调性. 回顾导数的几何意义，通过切线的斜率的值得到导数. 让学生总结导数的正负与函数的单调性的关系.让学生能了解单调性与函数的导数符号有关. 让学生观察出导数与曲线的单调性之间的关系.让学生能了解函数的增减与函数的 xf(x)?e?x判断函数在 (0,??)上的单调性. 利用几何画板来研究。 首先作出函数 f(x)?ex?x的图像，在 (0,??)上任意选取一个点 根据对函数的单调性与导数 关系的分析，提问导数的几 回答导数的几何何意义. 意义. 几何画板，使点在(0,??)上 学生观察导数值运动，观察其导数值的变化的变化，回答导数情况. 值的正负情况. 然后在负数区间选取一点， 观察该点的切线斜率的变 学生观察导数的变化情况 化. 动态展示导函数图像的形成- 3 -
过程. 提问：是否具有一般性呢? 显示多媒体（出示4个函数的解析式）：引导学生完成以下问题： 分组完成任务并讨论，函数的单调性与导数正负的关系. 1 画出函数的图像; 2 求出导函数并画出导函数的图像; 3 观察函数的单调性与导数正负的关系. 引导学生思考并提出以下问题： 能不能自己给出一个函数来验证？ 观察图像得出函数图像与导函数图像的对比. 思考并试图验证. 学生分组讨论 通过在做图纸上画图的方式来得到相应的结论. 学生思考给出一个函数. 导数符号有关. 让学生再次观察并总结出函数的单调性与导函数图像的关系，了解函数的增减与函数的导数符号有关. 激发学生的自主探究欲望. 让学生能理解利用导数的符号来判定函数的单调性之间的联系. 培养学生共同解决问题、探讨问题的能力和合作意识，从而培养学生的探究意识和探究能力. 通过实例让学生掌握利用函数的导数符号来判定函数单调性的方- 4 -
归纳总结 内容讲授
提问：从以上的分析中，总结出函数的单调性与导数正负的关系. 板书总结的结论 定理： 学生通过自己的归纳总结，得到相应的结论. 一般地，函数y?f(x)在某 (a,b)个区间内 ?f(x)1) 如果恒有 >0， 那么y?f(x) 在这个区间 (a,b)内单调递增； ?f(x)2) 如果恒有 <0， y?f(x)那么 在这个区间学生思考并回答函数是常数函数. (a,b)内单调递减。 思考：如果在某个区间内恒 ?f(x)y?f(x)有＝0 ,则 为常数函数. 注意： 应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义， 它必是定义域内学生思考回答思的某个子区间. 路. 法及过程；进一步让学生体会利用导数工具解决函数的单调性问题. 引导学生自主总结，并能再次加深理解和记忆. 让学生注意定义域的范围. 通过学生自己的分析和归纳，自主解决的本节课引入的函数的单调- 5 -
【公开课教案】《函数的单调性与导数》教学设计
