专题1 一元一次方程
[学生用书P112]
题型一 一元一次方程及其解的概念
已知(a2－1)x2－(a＋1)x＋8＝0是关于x的一元一次方程． (1)求代数式2 020(a＋x)(x－2a)＋3a＋5的值； (2)求关于y的方程a|y|＝x的解．
2??a－1＝0，
解：(1)根据题意，得?
?－（a＋1）≠0，?
解得a＝1，
则方程是－2x＋8＝0， 解得x＝4.
原式＝2 020×(1＋4)×(4－2)＋3＋5＝20 208. (2)将a＝1，x＝4代入a|y|＝x，有|y|＝4， 故y＝±4.
【点悟】 一元一次方程的一般形式，未知数的指数是1，一次项系数不为0，特别容易忽视的一点就是系数不为0的条件，这是这类题目考查的重点．
【变式跟进】
1．已知方程x2k1＋k＝0是关于x的一元一次方程，则方程的解等于( A )
－
A．－1 B．1 C．12 D．－12
2．已知关于x的方程3×(x＋1)－6a＝0的根是－2，则a的值是( C ) A．－2 B．2 11
C．－ D. 22
1【解析】 把x＝－2代入原方程，得3×(－2＋1)－6a＝0，解得a＝－. 2题型二 等式的性质
如图，下列四个天平中，相同形状的物体的质量是相等的，其中第①个天平是平衡
的，根据第①个天平，后三个天平仍然平衡的有( C )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】 因为第①个天平是平衡的，所以1个球的质量＝两个圆柱的质量． ②中，2个球的质量＝4个圆柱的质量，正确； ③中，1个球的质量＝2个圆柱的质量，正确； ④中，1个球的质量＝1个圆柱的质量，错误．
【点悟】 等式性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立． 等式性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立． 【变式跟进】
3．若x＝y，且m为任意有理数，则下列等式一定成立的有( B ) xy
①mx＝my；②m＋x＝m＋y；③＝.
mmA．3个 B．2个 C．1个 D．0个
4．下列变形正确的是( D ) ①由－3＋2x＝5，得2x＝5－3; 3
②由3y＝－4，得y＝－；
4③由x－3＝y－3，得x－y＝0; ④由3＝x＋2，得x＝3－2. A．①② B．①④ C．②③ D．③④
题型三 一元一次方程的解法
解下列方程： (1)4－4(x－3)＝2(9－x)； x－22x－5(2)x－＝－3.
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解：(1)去括号，得4－4x＋12＝18－2x. 移项，得－4x＋2x＝18－4－12. 合并同类项，得－2x＝2. 解得x＝－1.
(2)去分母，得15x－3(x－2)＝5(2x－5)－45. 去括号，得15x－3x＋6＝10x－25－45. 移项、合并同类项，得2x＝－76. 解得x＝－38.
【点悟】 解一元一次方程的步骤为去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1.
【变式跟进】
5．下列各项正确的是( D ) A．由7x＝4x－3移项，得7x－4x＝3
2x－1x－3
B．由＝1＋去分母，得2(2x－1)＝1＋3(x－3)
32C．由2(2x－1)－3(x－3)＝1去括号，得4x－2－3x－9＝1 D．由2(x＋1)＝x＋7去括号、移项、合并同类项，得x＝5
4
6．某同学解方程5x－1＝□x＋3时，把□处数字看错得x＝－，他把□处看成了( C )
3A．3 B．－9 C．8 D．－8
4204
【解析】 把x＝－代入5x－1＝Ｋx＋3，得－－1＝－Ｋ＋3，解得Ｋ＝8.
3333231m－x?＋x＝5m的解，则m＝__－__． 7．已知x＝是方程3??4?234121
m－?＋1＝5m，解得m＝－. 【解析】 把x＝代入方程，得3??2?34
8．解方程： (1)2x－(x＋10)＝6x； x＋12－x(2)＝3＋.
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解：(1)去括号，得2x－x－10＝6x. 移项、合并同类项，得－5x＝10. 解得x＝－2.
(2)去分母，得2(x＋1)＝12＋2－x. 去括号，得2x＋2＝12＋2－x. 移项、合并同类项，得3x＝12. 解得x＝4.
题型四 一元一次方程的应用
[2018春·新泰市期中]某地电话拨号上网有两种收费方式，用户可以任意选择其中一
种：第一种是计时制，0.06元/分；第二种是包月制，72元/月(限一部个人住宅电话上网)．此外，每一种上网方式都得加收通讯费0.01元/分．
(1)若小明家今年三月份上网的时间为x小时，请你分别写出两种收费方式下小明家应支付的费用．
(2)小明家一个月内上网多少小时，两种方式收费相同？
(3)若小明估计自家一个月内上网的时间为25小时，你认为他家采用哪种方式较为合算？ 解：(1)采用计时制应付的费用为0.06x×60＋0.01x×60＝4.2x元； 采用包月制应付的费用为72＋0.01x×60＝(72＋0.6x)元． (2)设小明家一个月内上网m小时，两种方式收费相同． 根据题意，得4.2m＝72＋0.6m， 解得m＝20.
答：小明家一个月内上网20小时，两种方式收费相同． (3)当x＝25时，4.2x＝4.2×25＝105， 72＋0.6x＝72＋0.6×25＝87. ∵105＞87，
∴小明家采用包月制合算．
【点悟】 一元一次方程的应用，常见的有以下几种问题：(1)和差倍分问题；(2)利息、利润问题；(3)行程问题；(4)分段计费问题；(5)工程问题；(6)数字问题；(7)年龄问题；(8)决策类问题等．熟悉每种问题的特点，以及找等量关系的常用方法(如列表法、画线段图法等)．
【变式跟进】
9．[2018·全椒县一模]《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事，诗云：“今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士，如何知原有．”(注：古代一斗是10升)译文：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友时，李白正好喝光了壶中的酒．请问各位，壶中原有多少升酒？
解：设壶中原有x升酒．
根据题意，得2[2(2x－5)－5]＝5， 解得x＝
35
. 8
35
升酒． 8
答：壶中原有
10．某校组织七年级学生参加社会实践活动，如果单独租用45座客车若干辆，则刚好坐满；如果单独租用60座客车，则可少租1辆，并且剩余15个座位．
(1)该校参加社会实践活动的有多少人？
(2)已知45座客车的日租金为每辆1 000元，60座客车的日租金为每辆1 200元，该校租用哪种车更合算？
解：(1)设该校参加社会实践活动有x人． 根据题意，得解得x＝225.
答：该校参加社会实践活动的有225人． (2)由题意，得
需45座客车：225÷45＝5(辆)， 需60座客车：225÷60＝3.75≈4(辆)． 租用45座客车需：5×1 000＝5 000(元)， 租用60座客车需：4×1 200＝4 800(元)． ∵5 000＞4 800，
∴该校租用60座客车更合算．
11．[2018秋·鼓楼区期末]在数轴上，点A代表的数是－3，点B代表的数是15，点Q代表的数是1.
(1)若P从点A出发，向点B运动(到达点B时运动停止)；每秒运动2个单位长度，M在AP12
之间，N在PB之间，且MP＝AP，NP＝BP，运动多长时间后MN＝10?
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(2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点Q分别以每秒7个单位长度和3个单位长度的速度向右运动．试探索BQ－AQ的值是否随着时间t(秒)的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值；
(3)若CD为数轴上一条线段(点C在点D的左边)，CD＝2，当CA＋CB＋CQ＋DA＋DB＋DQ的值最小时，请直接写出点C对应的数c的取值范围．
解：(1)当运动 t 秒时，AP＝2t，PB＝18－2t. ∵MN＝MP＋NP， 12
∴AP＋BP＝10， 234
即t＋12－t＝10，
3解得t＝6. (2)不变．
当运动 t 秒时，BQ＝15＋7t－(1＋3t)＝14＋4t，AQ＝1＋3t－(－3－t)＝4＋4t， ∴BQ－AQ＝10.
(3)∵要使CA＋CB＋CQ＋DA＋DB＋DQ最小，那么Q一定在CD上，且CD＝2， ∴－1≤c≤1.
[学生用书P114]
xx＋15－＝1. 4560
1．方程2x＋3＝7的解是( D ) A．x＝5 B．x＝4 C．x＝3.5 D．x＝2
2．下列利用等式的性质错误的是( D ) A．由a＝b，得到1－a＝1－b ab
B．由＝，得到a＝b
22C．由a＝b，得到ac＝bc D．由ac＝bc，得到a＝b
3．在解方程3(x－1)－2(2x＋3)＝6时，去括号正确的是( B ) A．3x－1－4x＋3＝6 B．3x－3－4x－6＝6 C．3x＋1－4x－3＝6 D．3x－1＋4x－6＝6
4．[2018·河北模拟]大学生嘉嘉假期去图书馆做志愿者服务，并与图书馆达成如下协议：做满30天，图书馆将支付给他一套名著和生活费600元，但他在做到20天时，由于学校有临时任务，只能终止服务，图书馆只付出一套名著和300元．设这套名著的价格为x元，则下面所列方程正确的是( B )
A.
x＋600x＋300
＝ 2030
x＋600x＋300B.＝ 3020C.
x－600x－300
＝ 3020x－600x－300
＝ 2030
D.
5．[2018·江干区一模]甲、乙两人从学校到博物馆去，甲每小时走4 km，乙每小时走5 km，甲先出发0.1 h，结果乙还比甲早到0.1 h．设学校到博物馆的距离为x km，则以下方程正确的是( B )
xx
A.＋0.1＝－0.1 45xx
B.－0.1＝＋0.1 45xx
C.＝－0.1 45
D．4x－0.1＝5x＋0.1
11106．规定一种运算“*”，a*b＝a－b，则方程x*2＝1*x的解为____．
347111110
【解析】 依题意，得x－×2＝×1－x，解得x＝. 34347
7．一件服装的标价为300元，打八折销售后仍可获利60元，则该件服装的成本价是__180__元．
8
【解析】 设该件服装的成本价是x元．依题意，得300×－x＝60，解得x＝180.即该件
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2018-2019学年华东师大版七年级数学下册期末复习题：专题1 一元一次方程
