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2007年全国数学竞赛练习(八) 

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2007全国数学竞赛练习(八)

一、选择题(每小题6分,共30分)

?1的所有整数解的个数是( )个 1.方程(x?x?1)(A)2 (B)3 (C)4 (D)5

2.设△ABC的面积为1,D是边AB上一点,且使四边形DECB的面积为

2x?3AD1?.若在边AC上取一点E, AB3DCB·O3.如图所示,半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上,且与其余三边BC,CD,DA

3CE,则的值为( ) 4EA1111(A) (B) (C) (D)

A2345相切,若BC=2,DA=3,则AB的长( )

(A)等于4 (B)等于5 (C)等于6 (D)不能确定

4.在直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点,称为整点。设k为整数,当直线y?x?2 与直线y?kx?4的交点为整点时,k的值可以取( )个 (A)8个 (B)9个 (C)7个 (D)6个

5.世界杯足球赛小组赛,每个小组4个队进行单循环比赛,每场比赛胜队得3分,败队得0分,平局时两队各得1分.小组赛完后,总积分最高的2个队出线进入下轮比赛.如果总积分相同,还有按净胜球数排序.一个队要保证出线,这个队至少要积( )分. (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 二、填空题(每小题6分,共30分) 6.当x分别等于

111111,,,,,,2000,2001,2002,200520042003200220012000x2

的值,将所得的结果相加,其和等2003,2004,2005时,计算代数式2

1?x

5,则关于x的不等式ax?b<0的解2AFBDE1

于 .

7.关于x的不等式(2a?b)x>a?2b的解是x<为 .

8.方程x?px?q?0的两根都是非零整数, 且p?q?198,则p= .

9.如图所示,四边形ADEF为正方形,ABCD为等腰直

2C角三角形,D在BC边上,△ABC的面积等于98,BD∶DC=2∶5. 则正方形ADEF的面积等于 .

- -

10.设有n个数x1,x2,…,xn,它们每个数的值只能取0,1,-2三个数中的一个,

255522且x1?x2?…?xn??5,x1?x2?…?xn?19,则x1?x2?…?xn的值

是 .

三、解答题(每小题15分,共60分)

11.如图,凸五边形ABCDE中,已知S△ABC=1,且EC∥AB,AD∥BC,BE∥CD,

DCA∥DE,DB∥EA.试求五边形ABCDE的面积.

EFCABx2?kx?3?3x?k的解,求实数k12.在正实数范围内,只存在一个数是关于x的方程

x?1的取值范围.

13.如图,一次函数的图象过点P(2,3),交x轴的正半轴与A,交y轴的正半轴与B,

y求△AOB面积的最小值.

14.预计用1500元购买甲商品x个,乙商品y个,不料甲商品每个涨价1.5元,乙商品每个涨价1元,尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个,总金额仍多用29元.又若甲商品每个只涨价1元,并且购买甲商品的数量只比预定数少5个,那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元. (1)求x、y的关系式;

(2)若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205,但小于210,求x、y的值.

- -

2

BPOxA参考答案

一、选择题

1.C 2.B 3.B 4.A 5.C 二、填空题

6.6 7.x??8 8.-202 9.116 10.-125 三、解答题

11.∵ BE∥CD,CA∥DE,DB∥EA,EC∥AB,AD∥BC,

∴ S△BCD=S△CDE=S△DEA=S△EAB=S△ACB=S△ACF=1. 设S△AEF=x,则S△DEF=1?x,

又△AEF的边AF与△DEF的边DF上的高相等, 所以,

DE1?x,而△DEF∽△ACF,则有 ?AFx2S?DEF?DF?(1?x)2???1?x. ??2S?ACF?AF?x整理解得 x?5?1. 25?5. 2212.原方程可化为2x?3x?(k?3)?0,①

333(1)当△=0时,k??,x1?x2?满足条件;

842(2)若x?1是方程①的根,得2?1?3?1?(k?3)?0,k??4.此时方程①的

11

另一个根为,故原方程也只有一根x?;

22

?k?3(3)当方程①有异号实根时,x1x2??0,得k??3,此时原方程也只有

2故SABCDE=3S△ABC+S△AEF=一个正实数根;

(4)当方程①有一个根为0时,k??3,另一个根为x?个正实根。

3

,此时原方程也只有一2

33或k??4或k??3. 813.解:设一次函数解析式为y?kx?b,则3?2k?b,得b?3?2k,令y?0得

bbx??,则OA=?.

kk令x?0得y?b,则OA=b.

综上所述,满足条件的k的取值范围是k??- -

3

S?AOB?1b?(?)?b2k1(3?2k)2??2?k14k2?12k?9 ??2?k213??[(2?k?)?24]2?k?12.所以,三角形AOB面积的最小值为12.

14.(1)设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和b元,则原计划是

ax?by?1500, ①

由甲商品单价上涨1. 5元、乙商品单价上涨1元,并且甲商品减少10个的情形,得 (a?1.5)(x?10)?(b?1)y?1529.② 再由甲商品单价上涨1元,而数量比预计数少5个,乙商品单价上涨仍是1元的情形,得

(a?1)(x?5)?(b?1)y?1563.5, ③ 由①、②、③得

?1.5x?y?10a?44, ??x?y?5a?68.5.④-⑤×2并化简,得 x?2y?186.

④ ⑤

(2)依题意,有205<2x?y<210及x?2y?186,54<y<55由y是整数,得y?55,从而得x?76. 答:(1)x、y的关系x?2y?186; (2)预计购买甲商品76个,乙商品55个.

2, 32007年初中数学竞赛模拟试题(2)

一、选择题(每小题6分,共30分)

1.已知a?b?4,ab?c2?4?0,则a?b=( ) (A)4 (B)0 (C)2 (D)-2 2.方程|x|?43|x|的实根的个数为( ) ?xx (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

3.已知梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD交于O,△AOD的面积为4,

- -

4

△BOC的面积为9,则梯形ABCD的面积为( ) (A)21 (B)22 (C)25 (D)26

4.已知⊙O1与⊙O2是平面上相切的半径均为1的两个圆,则在这个平面上有( )个半径为3的圆与它们都相切. (A)2 (B)4 (C)5 (D)6

5.一个商人用m元(m是正整数)买来了n台(n为质数)电视机,其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构,其余的电视机在商店出售,每台盈利500元,结果该商人获得利润为5500元,则n的最小值是( ) (A)11 (B)13 (C)17 (D)19 二、填空题(每小题6分,共30分)

6.已知等腰△ABC内接于半径为5cm的⊙O,若底边BC=8cm,则△ABC的面积为 .

7.△ABC的三边长a、b、c满足b?c?8,bc?a2?12a?52,则△ABC的周长等于 .

8.若?x?表示不超过x的最大整数,且满足方程3x?5?x??49?0,则x= . 9.若直线323x?457y?1103与直线177x?543y?897的交点坐标是(a,b),则

a2?2006b2的值是 .

10.抛物线y?2x?4x?5向左平移3个单位,再向上平移两个单位,得抛物线C,则C关于y轴对称的抛物线解析式是 .

三、解答题(每小题15分,共60分)

11.如图所示,在△ABC中,AC=7,BC=4,D为AB的中点,E为AC边上一点,且∠AED=90°+

21∠C,求CE的长. 2BDAE- -

C5

2007年全国数学竞赛练习(八) 

2007全国数学竞赛练习(八)一、选择题(每小题6分,共30分)?1的所有整数解的个数是()个1.方程(x?x?1)(A)2(B)3(C)4(D)52.设△ABC的面积为1,D是边AB上一点,且使四边形DECB的面积为2x?3AD1?.若在边AC上取一点E,AB
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