2024-2024年高中数学第三章导数应用章末小结知识整合与阶段检测教学
案北师大版选修2-2
一、导数与函数的单调性
1．若f′(x)>0，则f(x)是增加的；若f′(x)<0，则f(x)是减少的；若f′(x)＝0恒成立，则f(x)为常数函数；若f′(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数．
2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增加的，则f′(x)≥0；若函数y＝f(x)在区间(a，
b)上是减少的，则f′(x)≤0.
3．利用导数求函数单调区间的步骤： (1)求导数f′(x)；
(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； (3)写出单调增区间或减区间．
特别注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接． 二、导数与函数的极值和最值 1．极值
当函数f(x)在x0处连续可导时，如果x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么
f(x0)是极大值；若左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
2．利用导数求函数极值的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根；
(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号． 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f(x)的极值点． 3．最值
对于函数y＝f(x)，给定区间[a，b]，若对任意x∈[a，b]，存在x0∈[a，b]，使得
f(x0)≥f(x)(f(x0)≤f(x))，则f(x0)为函数在区间[a，b]上的最大(小)值．
4．利用导数求函数最值的一般步骤 (1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
5．函数最值与极值的区别与联系
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个区间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．
(2)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．
(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值．
?对应阶段质量检测三? ?? ? 见8开试卷?
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
3?12?1．曲线y＝x－2x在点?1，－?处的切线的倾斜角为( ) 2?2?A．－135° C．－45°
B．45° D.135°
3??解析：∵y′＝x－2，∴?1，－?处的切线斜率为－1，倾斜角为135°. 2??答案：D
2．下列求导运算正确的是( ) A．(cos x)′＝sin x C．(3)′＝3log3e
xxx1
B．(ln 2x)′＝
xx D.(xe)′＝2xe
x2x2x解析：(cos x)′＝－sin x，(3)′＝3ln 3，(xe)′＝2xe＋xe. 答案：B
3．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)( ) A．在(－∞，0)上为减少的 B．在x＝0处取极小值 C．在(4，＋∞)上为减少的 D．在x＝2处取极大值
解析：在(－∞，0)上，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，0)上为增函数，A错；在x＝0处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在x＝0处取极大值，B错；在(4，＋∞)上，f′(x)<0，
x2xf(x)为减函数，C对；在x＝2处取极小值，D错．
答案：C
4．设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝x＋2xf′(1)，则f′(0)＝( ) A．0 C．－2
B．－4 D.2
2
解析：∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)， ∴f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝－4. 故选B. 答案：B
π??0，5．函数f(x)＝x＋2cos x在??上取最大值时的x值为( ) 2??A．0 C.π
3
π B. 6π D. 2
1
解析：由f′(x)＝1－2·sin x＝0，得sin x＝，
2π?π??π?又x∈?0，?，所以x＝，当x∈?0，?时，f′(x)>0；
2?6?6??当x∈?
?π，π?时，f′(x)<0，故x＝π时取得最大值． ?6?62?
3
答案：B
6．函数f(x)＝ax＋x＋1有极值的充要条件是( ) A．a>0 C．a<0
2
B．a≥0 D.a≤0
1
所以a<0. 2(x≠0)，
3x解析：f′(x)＝3ax＋1，由题意得f′(x)＝0有实数根，即a＝－答案：C
7．已知函数f(x)＝x(ax＋b)(a，b∈R)在x＝2时有极值，其图像在点(1，f(1))处的切线与直线3x＋y＝0平行，则函数f(x)的单调减区间为( )
A．(－∞，0) C．(2，＋∞)
解析：∵f(x)＝ax＋bx， ∴f′(x)＝3ax＋2bx，
2
3
2
2
B．(0,2) D.(－∞，＋∞)
??3a×2＋2b×2＝0，∴?
?3a＋2b＝－3，?
2
2
??a＝1，
即?
?b＝－3，?
令f′(x)＝3x－6x<0，则0 8．函数f(x)＝x－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( ) A．[0,1) C．(－1,1) 23 B．(0,1) ?1? D.?0，? ?2? 解析：f′(x)＝3x－3a，由于f(x)在(0,1)内有最小值，故a>0，且f′(x)＝0的解为 x1＝a，x2＝－a，则a∈(0,1)，∴0 答案：B 23 9．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋x，且产品单价的平方与产品件 75数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为( ) A．15件 C．25件 B．20件 D.30件 2 解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即ax＝k，由题知 k＝250 000， 则ax＝250 000，所以a＝ 2 500. x23 总利润y＝500x－x－1 200(x>0)， 75 y′＝25022 －x，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，x25 所以x＝25时，y取最大值． 答案：C 10．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋ f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( ) A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3) 解析：设h(x)＝f(x)g(x)，则h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，所以h(x)是R上的奇函数，且h(－3)＝h(3)＝0，当x<0时，h′(x)>0，所以h(x)在(－∞，0)上是增加的，根据奇函数的对称性可知，h(x)在(0，＋∞)上也是增加的，因此h(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0，3)． 答案：D 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上) 11．函数y＝2x－6x＋11的单调递减区间为________． 解析：y′＝6x－12x，令6x－12x<0，得0 1 12．已知函数f(x)＝x－sin x，x∈(0，π)，则f(x)的最小值为________． 21π 解析：令f′(x)＝－cos x＝0，得x＝. 23 π?π??π?当x∈?0，?时，f′(x)<0；当x∈?，π?时，f′(x)>0，f(x)在x＝处取得极小 3?3??3?3π－33?π?1π 值．又f(x)在(0，π)上只有一个极值点，易知f??＝×－＝即为f(x)的 6?3?232最小值． π－33 答案： 6 13．已知函数f(x)＝xe＋c有两个零点，则c的取值范围是________． 解析：∵f′(x)＝e(x＋1)，∴易知f(x)在(－∞，－1)上是减少的，在(－1，＋∞)上是增加的，且f(x)min＝f(－1)＝c－e，由题意得c－e<0，得c 答案：(－∞，e) 14．已知函数f(x)＝2ln x＋2(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数 －1 －1 －1 －1 2 2 3 2 xxaxa的取值范围是________． 解析：f(x)≥2即a≥2x－2xln x. 令g(x)＝2x－2xln x， 则g′(x)＝2x(1－2ln x)． 由g′(x)＝0得x＝e，0(舍去)， 且0 2 2 2 2
2024-2024年高中数学第三章导数应用章末小结知识整合与阶段检测教学案北师大版选修2-2
