的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。 过程：一、复习：1．实数与向量的积 (强调：“模”与“方向”两点) 2．三个运算定律（结合律，第一分配
律，第二分配律）
3．向量共线的充要条件
4．平面向量的基本定理（定理的本身及
其实质）
二、处理《教学与测试》
1．当λ
????Z时，验证：λ(a+b)=λa+λb
????证：当λ=0时，左边=0?(a+b)=0 右边=0?a+0?b=0 分配
律成立
当λ为正整数时，令λ=n, 则有：
????????n(a+b)=(a+b)+(a+b)+…+(a+b)
?????????=a+a+…+a+b+b+b+…+b=na+nb
即λ为正整数时，分配律成立
当为负整数时，令λ=n（n为正整数），有
??n(a+b)=n[
?na+(
?nb)=
??(a+b)]=n[(
?a)+(
?b)]=n(
?a)+n(
?b)=
?na?nb
分配律仍成立
????综上所述，当λ为整数时，λ(a+b)=λa+λb恒成立 。 ??2．如图，在△ABC中，AB=a, BC=b AD为边BC的中线，G为
△ABC的重心，求向量AG
第 16 页
??11? 解一：∵AB=a, BC=b 则BD=BC=b
22?1?2A ∴AD=AB+BD=a+b而AG=AD 23 解二：过G作BC的平行线，
a b D CB交AB、AC于E、F
∵△AEF∽△
A ABC
FG???? 3．在B ABCDb D C中，设对角线AC=a，BD=b试用a, b表示AB，BC
1?11?BO 解一：AO=OC=a =BD=b
222Ea 解二：设AB=x，BC=y D C?O ∴ 则AB+BC=AC x+y=a 1?x=(a2?b)
A
?1??b) BC=(a+b)
2B
1? 即：AB=(a2 4．设e1, e2是两个不共线向量，已知AB=2e1+ke2, CB=e1+3e2,
CD=2e1e2, 若三点A, B, D共线，求k的值。
CB=(2e1解：BD=CDe2)(e1+3e2)=e14e2
∵A, B, D共线 ∴AB,BD共线 ∴存在λ使AB=λBD
即2e1+ke2=λ(e1?2??4e2) ∴? ∴k=
k??4??8
5．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD，M, N分别是DC, AB
????中点，设AD=a, AB=b，试以a, b为基底表示DC, BC, MN
解
DC=
：
11?AB=b 连ND 则DC╩ND 22 ∴
NM CD 第 17 页
O A
M
B
BC=ND=AD?AN=a1?b 2 又
11?DM=DC=b
24：
6．1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别成30
, 60
角，问两细绳各受到多大的力？
解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90
|OP|=1 (kg)
P1OP=60
12 P2OP=30
∴|OP1|=|OP|cos60
|OP2|=|OP|cos30
=1?=0.5 (kg)
3060P1 3=1?=0.87 (kg)
2 即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg和0.87 kg P2 三、作业：《教学与测试》67、68课练习
第八教时
教材：向量的坐标表示与坐标运算
目的：要求学生理解平面向量的坐标的概念，较熟练地掌握平面向量的坐
标运算。
过程：一、复习：1．复习向量相等的概念 y
P
x B
自由向量
O OA=BC
?C a A
2．平面向量的基本定理（基底）
?a=λ1e1+λ2e2
其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两
个不共线向量的线性组合。
第 18 页
二、平面向量的坐标表示
1．在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示 问题：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？
取x轴、y轴上两个单位向量i, j作基底，则平面内作一向量
?a=xi+yj，
记作：a=(x, y) 称作向量a的坐标 y
?A ? 如：a=OA=(2, 2)
i=(1, 0) ??c a b B
? b=OB=(2,
j=(0, 1)
O x
1)
C
c=OC=(1, 5)
j=(0, 0)
2．注意：1
23
每一平面向量的坐标表示是唯一的； 设A(x1, y1) B(x2, y2) 则AB=(x2x1, y2
y1)
两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。
3．例一：(P109)略 三、平面向量的坐标运算
1．问题：1
??????已知a(x1, y1) b(x2, y2) 求a+b，a?b的坐标
2已知a(x, y)和实数λ, 求λa的坐标
??2．解：a+b=(x1i+y1j)+( x2i+y2j)=(x1+ x2) i+ (y1+y2) j ??即：a+b=(x1+ x2, y1+y2) ?同理：a?b=(x1
? x2, y1y2)
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3．结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。 同理可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。
用减法法则： ∵AB=OB= (x2
OA=( x2, y2)
A(x,y (x1, y1)
y B(x,y
O
x
x1, y2 y1)
? 4．实数与向量积的坐标运算：已知a=(x, y) 实数λ 则λa=λ(xi+yj)=λxi+λyj ∴λa=(λx, λy)
结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
四、例二（P110例二）
例三（P111例三）
例四（P145例一）已知三个力F1 (3, 4), F2(2, 5), F3(x, y)的合力F1+F2+F3=0 求F3的坐标。
解：由题设F1+F2+F3=0 得：(3, 4)+ (2,
?3?2?x?0?x??5即：? ∴? ∴F3(
4?5?y?0y?1????5)+(x, y)=(0, 0)
5,1)
1, 3), C(3, 4)，
例五、已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1), B(
求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。 解：当平行四边形为ABCD时，
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B A DO x
y C DD
人教版高中数学《平面向量》全部教案-70页word资料
