人教版高中数学《平面向量》全部教案-70页word资料

求证：

?? x1x2+ y1y2=|a||b|cos

??证：如图：设a, b起点在原点，终点为A，B

?则A=(x1, y1) B=(x2, y2) AB=b?a

A ?a

在△ABC中，由余弦定理

?|b?∵|bB ?

?2?2?2a|=|a|+|b|??2|a||b| cos

b O

?22222a|=|AB|=|(x2-x1, y2-y1)|=(x2-x1)+( y2-y1)

?2?222

|a|=x1+y1 |b|= x22+y22

∴(x2-x1)+( y2-y1)= x1+y+ x2+y

??∴x1x2+ y1y2=|a||b|cos

222

21

2

22

??2|a||b| cos

?? 即有a?b= x1x2+

??y1y2=|a||b|cos

四、小结：余弦定理及其应用

五、作业：P131练习 P132 习题5.9 余下部分

第十九教时

教材：正弦定理和余弦定理的复习《教学与测试》76、77课

目的：通过复习、小结要求学生对两个定理的掌握更加牢固，应用更自如。 过程：一、复习正弦定理、余弦定理及解斜三角形 二、例一 证明在△ABC中

外接圆半径

证略 见P159

注意：1．这是正弦定理的又一种证法(现在共用三种方法证明)

2.正弦定理的三种表示方法(P159)

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a=bsinAsinB=

csinC=2R，其中R是三角形

例二 在任一△ABC中求证：

a(sinB?sinC)?b(sinC?sinA)?c(sinA?sinB)?0

证：左边

=2RsinA(sinB?sinC)?2RsinB(sinC?sinA)?2RsinC(sinA?sinB) =

2R[sinAsinB?sinAsinC?sinBsinC?sinBsinA?sinCsinA?sinCsinB]=0=右边

例三 在△ABC中，已知a?3，b?2，B=45 求A、C及c

asinB3sin45?3解一：由正弦定理得：sinA? ??b22∵B=45当A=60

<90 即b

bsinC? c?sinB2sin75???sin45或120

时C=75

6?2 26?2 2当A=120时C=15

bsinC2sin15??? c?sinBsin45?解二：设c=x由余弦定理 b2?a2?c2?2accosB 将已知条件代入，整理：x2?6x?1?0 解之：x?6?2 2222当c?6?22)?3b?c?a1?3?6?22??? 时cosA?22bc6?22(3?1)22?2?22?( 从而A=60

当c? C=75

6?2时同理可求得：A=1202 C=15

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例四 试用坐标法证明余弦定理 证略见P161

例五 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程x2?23x?2?0的两个根，

且

2cos(A+B)=1 求 1解：12

cosC=cos[

角C的度数 2AB的长度 3(A+B)]=

cos(A+B)=

△ABC的面积

1 ∴C=1202?a?b?23由题设：?

?a?b?2∴AB2=AC2+BC22AC?BC?osC?a2?b2?2abcos120?

?a2?b2?ab?(a?b)2?ab?(23)2?2?10 即AB=10

3S△ABC=absinC?absin120???2?12121233? 22例六 如图，在四边形ABCD中，已知AD

BCD=135

求BC的长

CD, AD=10, AB=14, BDA=60D C

,

解：在△ABD中，设BD=x

则BA2?BD2?AD2?2BD?AD?cos?BDA A

即142?x2?102?2?10x?cos60? 整理得：x2?10x?96?0

解之：x1?16 x2??6（舍去） 由余弦定理：

BCBD16???sin30?82 ∴BC??sin?CDBsin?BCDsin135B

例七 （备用）△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，

1

求最大角 2

求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4

的平行四边形的最大面积。

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解：1

设三边a?k?1,b?k,c?k?1 k?N?且k?1

a2?b2?c2k?4??0解得1?k?4 ∵C为钝角 ∴cosC?2ac2(k?1)∵k?N? ∴k?2或3 但k?2时不能构成三角形应舍去 当k?3时 a?2,b?3,c?4,cosC??,C?109? 2设夹C角的两边为x,y x?y?4 S?xysinC?x(4?x)?当x?2时S最大=15

三、作业：《教学与测试》76、77课中练习

a2?b2b2?c2c2?a2???0 补充：1．在△ABC中，求证：

cosA?cosBcosB?cosCcosC?cosA1515??(?x2?4x) 4414D A

2．如图ABBC CD=33

BCD=75

BDC=45

ACB=30

求AB的长

B

C

第二十教时

(112)

教材：解斜三角形的应用

目的：要求学生利用数学建模思想，结合正弦定理、余弦定理和解任意三

角形的知识解决实践中的有关问题。 过程：一、提出课题：解斜三角形的应用 二、例一 (课本P132 例一) 略

例二[变题] 假定自动卸货汽车装有一车货物，货物与车箱的底部的滑

动摩擦系数为0.3，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95米，AB与水平线之间的夹角为6

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20’，AC长为1.40米，求货

物开始下滑时AC的长。

解： 设车箱倾斜角为C mg

，货物重量为

当?mgcos??mgsin?即??tan?时货

A 物下滑 B

f ??tan? 0.3?tan?

??arctan0.3?16?42' mgsinmgcosmg 中: BC2?AB2?AC2?2AB?ACcos?BAC 在△ABC

例三 (课本P133 例二) 略

例四 我舰在敌岛A南50西相距12 nmile的B处，发现敌舰正由

岛沿北10

西的方向以10nmile/h的速度航行，问：我舰需要以

多大速度，沿什么方向航行才能用功小时追上敌舰？ 解：在△ABC中：AB=12 AC=10×2=20

BAC=40

+80

=120

1?122?202?2?12?20?(?)?784 BC=28

2即追击速度为14mile/h 又：∵△ABC中，由正弦定理：∴我舰航行方向为北(50??arcsinACBC ?sinBsinA53)东 14三、作业：P134 练习 1、2 习题5.10 1—4

第二十二教时

教材：复习一——向量、向量的加法与减法、实数与向量的积

目的：通过复习对上述内容作一次梳理，使学生对知识的理解与应用提高

到一个新的水平。

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