第八章 多元函数微分法及其应用
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第七章中我们知道了多元函数的解析式对应什么图形，从这一章开始，我们进入讨论
多元函数的微积分问题，首先讨论多元函数的导数与微分，即多元函数微分法及其应用。
想一想上册讨论一元函数微分时设计了哪些内容呢？是不是第一章是一元函数的概念与极限（包括连续），第二章是导数与微分，第三章是导数的应用呢？那么和一元函数的内容相对应的，第八章讨论的内容包括了多元函数的概念、极限与连续，导数（偏导数）与微分（全微分），导数的应用等内容。
第一节 多元函数的基本概念 本节导航
本节内容对应于上册的第一章，内容涉及了多元函数的概念，多元函数的极限，多元函数的连续性，请先复习上册的第一章，再与之对照学习此节。
内容精讲
本节主要讨论多元函数的概念、极限与连续。但教材因为多元函数概念中用到“点集”这一名词，所以教材中的第一个大问题是平面点集。我们为了符合大家的思维习惯，我们先从这节的重点——多元函数的概念开始。教材中有与多元函数的精确定义，我们不再重复，下面我们只是从与一元函数的比较中引入多元函数概念。其实，在实际应用中，大家没必要去死记多元函数的概念，我们则只需要理解概念并会应用，这点是最重要的：能用你自己的语言说出什么时多元函数，并能之处看到的一个表达式是不是多元函数。所有我们学习的知识都是如此，并不是看你死记住了就行了，而是看你能不能理解你所学的知识，你能不能用所学的知识。
一、 多元函数的基本概念
1. 举例引入多元函数
首先，我们知道y?4x?1、y?2x中的变量y都随着变量x变化而变化，我们说它们是函数，x是自变量，y是因变量。因为这两个函数中的自变量都只有一个x，所以从现在开始，我们称这两个函数为“一元函数”。
下面，我们会想一下上一章学的平面与曲面方程，比如：平面3x?4y?z?9?0，也可变为z??3x?4y?9；曲面z?3x?2y。现在我们用函数的观点看一下，这两个表达式中变量z都随着变量x和y变化而变化，x和y是自变量，z是因变量，因为这两个函数中的自变量都有两个x和y，所以我们称这两个函数为“二元函数”。 类似地，有三个自变量的函数称为三元函数，等等，有n个自变量的函数称为n元函数。由一元函数推广到二元函数时，函数的性质会有本质的变化，而由二元函数推广到三元与三元以上的函数时，函数性质不会发生本质变化。所以，以后我们讨论多元函数时以二元函数为主即可。
2222. 函数的两个基本与要素
与一元函数相类似，多元函数的两个基本要素也为定义域与对应法则。我们遇到的的
多元函数大都由一个数学解析式给出，所以对应法则即由解析式确定，我们重点讨论定义域。在教材p6第二段有如下约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数时，就以是这个算是有意义的变元的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域。
这里需要说明，因为我们讨论多元函数以二元函数为主要对象，所以我们举几个二元函数的例子，求其定义域：
函数z?ln(x?y)的定义域为{(x,y)x?y?0}； 函数z?arcsin(x?y)的定义域为{(x,y)x2?y2?1}
这两个二元函数的定义域都是平面上的点集，所以我们有必要研究平面点集，这就是教材中的第一个大问题“平面点集”并由此推广到“n维空间”的由来，这些我们留待第二个大问题在讨论。下面我们先讨论二元函数的另一个性质，即它们的图形。
223. 二元函数的图形
回想上一章空间解析几何中我们已经讨论了，比如二元函数z??3x?4y?9的图形
是一个平面曲面，二元函数z?3x?2y的图形是椭圆抛物面。这些曲面在xoy坐标面上的投影即为二元函数的定义域。
22二、平面点集 n维空间
上面再讨论二元函数的定义域是我们说道二元函数的定义域是平面点集，所以我们有必要讨论平面点集。在平面点集中，为例讨论二元函数的极限与连续，其中你非常常用就是一种特殊的平面点集“区域”，其实我们这个问题最重要的名词就是“区域”，而要说清楚什么是“区域”，教材中进行了很长的铺垫，包括“邻域”“内点”“外点”“聚点”“开集”“闭集”“连通集”等很多名词。大家记住，其实这里最重要的就是知道什么是区域。
1. 平面点集
坐标平面上具有某种性质的点的集合称为平面点集，就像我们上面的例子中二元函数的定义域就是一些平面点集。
特别地，二元有序实数组(x,y)的全体，即R?R?R?{(x,y)x,y?R}就表示坐标平面。
下面为了将平面点集进行分类我们先讨论邻域的概念。 ①邻域
上册中我们已经讨论了邻域概念，那时是针对一元函数讨论的。回想一下，一元函数中什么叫邻域U(a,?)？即点a附近的那些点，这些点与P0点近到什么程度呢？近到与a点的距离比?要小的程度，用式子表达就是：U(a,?)?{xx?a??}，在几何上表示数轴上以a为中心，以??0为半径的左右对称的开区间内部的点。下面我们将一元函数的邻域概念推广到二元函数的邻域概念。
点P0(x0,y0)是xoy平面上的一个点，则邻域U(P0,?)表示点P0附近的那些点，这些点与P0点近到什么程度呢？近到与P0点的距离比?要小的程度，用式子表达就是：
222U(P0,?)?{PPP0??}?{(x,y)(x?x0)?(y?y0)??}。在几何上，U(P0,?)就
是xoy平面上以点P0为中心，??0为半径的圆内部的点P的全体。与上册中邻域的几何表示比较一下，发现现在的邻域中的点在“面”上，而原来的点在“线”上。
有了邻域概念，下面根据点与点集的关系，可以将点分为三种内点、外点、边界点。 ②内点、外点与边界点
阅读教材p2图8-1左边关于内点、外点与边界点的定义，这里不再赘述。根据点集所属点的特征，可以定义一些平面点集，其中最重要的就是区域。 ③开集、闭集、连通集、区域、闭区域、有界集与无界集
阅读教材p3关于开集、闭集、连通集、区域、闭区域、有界集与无界集的定义，这里不再赘述。
)b?(bx,by,bz)， 设 a?(ax,ay,az，j?za，kb?bxi?byj?bzk 即 a?axi?aya?b?axi?ayj?azk?bxi?byj?bzk?axi?bxi?ayj?byj?azk?bzk?(ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k?(ax?bx,ay?by,az?bz)减法与数乘运算有类似结果。请仔细阅读教材p295-297页上内容与例2，例3，学习
例3后面的注意。
加法的交换律数乘的分配律
三、向量的两种表示方法之间的相互转化 向量的模、方向角
向量有两种表示方法，第一种是向量由它的大小与方向确定；第二种是向量由它的坐标确定。既然用这两种表示方法都可以确定一个向量，那么这两种表示方法之间应该可以相互转化。
1． 已知向量的坐标求向量的大小与方向 向量的模 方向角
设向量r?(x,y,z)
① 求向量r的大小 向量的模与两点间的距离 请阅读教材p297-298内容并自己做例4、5、6
② 求向量r的方向 方向角与方向余弦
怎样才能说清楚空间中的一个向量的方向呢？我们是通过说明这个向量与三条坐标轴的夹角来说明它的方向的。要说明向量与三台条坐标轴的夹角，首先要说明什么是两个向量的夹角。请阅读教材p298倒数三段。
教材中定义了向量r与三条坐标轴的夹角记为?、?、?称为向量r的方向角，知道了向量的方向角就知道了向量的方向。那么知道向量r的坐标r?(x,y,z)，怎样求向量的方向角呢？再观察图7-2，
在直角三角形OPM中，?OPM为直角，?POM为向量r与x轴的夹角?，OP为
第一节 多元函数的基本概念
