概率论 习题四 答案
1.设随机变量X的分布律为
X P ??1 0 1 2 1/8 1/2 1/8 1/4 求E（X），E（X2），E（2X+3）. 【解】(1) E(X)?(?1)??0?1111?1??2??; 28421212121522(2) E(X)?(?1)??0??1??2??;
828441(3) E(2X?3)?2E(X)?3?2??3?4
2182.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为 X 0 1 59051004C110C90?0.3405?0.583 C1002 23C10C90?0.0705C1003 32C10C90?0.0075C1004 41109051005 P CC5C10CC?05?0 C100C 故 E(X)?0.583?0?0.340?1?0.070?2?0.007?3?0?4?0?5 ?0.501, D(X)??[x?E(X)]P
2iii?05
?(0?0.501)2?0.583?(1?0.501)2?0.340?L?(5?0.501)2?0?0.432.??1 0 1 p1 p2 p3
3.设随机变量X的分布律为 X P 且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求p1,p2,p3. 【解】因p1?p2?p3?1……①,
又E(X)?(?1)p1?0gp2?1gp3?p3?p1?0.1……②,
E(X2)?(?1)2gp1?02gp2?12gp3?p1?p3?0.9……③
由①②③联立解得p1?0.4,p2?0.1,p3?0.5.
4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白
球的概率是多少？
【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则
P(A)全概率公式?P{A|X?k}gP{X?k}
k?0Nk1??P{X?k}?NN k?01n?gE(X)?.NN5.设随机变量X的概率密度为
N?kP{X?k}k?0N
?x,0?x?1,?f（x）=?2?x,1?x?2,
?0,其他.?求E（X），D（X）. 【解】E(X)??????xf(x)dx??x2dx??x(2?x)dx
01123?13??2x? ??x???x???1.
3?1?3?0?12E(X2)??2????x2f(x)dx??x3dx??x2(2?x)dx?012127 6故 D(X)?E(X)?[E(X)]?1. 66.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.
（1） U=2X+3Y+1； （2） V=YZ??4X.
【解】(1) E[U]?E(2X?3Y?1)?2E(X)?3E(Y)?1 ?2?5?3?11?1?44.
(2) E[V]?E[YZ?4X]?E[YZ]?4E(X) 因Y,Z独立E(Y)gE(Z)?4E(X)
?11?8?4?5?68. 7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X??2Y），
D（2X??3Y）. 【解】(1) E(3X?2Y)?3E(X)?2E(Y)?3?3?2?3?3.
22(2) D(2X?3Y)?2D(X)?(?3)DY?4?12?9?16?192.
8.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=?试确定常数k，并求E（XY）. 【解】因
?k,0?x?1,0?y?x,
其他.?0,??????????1x1f(x,y)dxdy??dx?kdy?k?1,故k=2
002E(XY)???????????xyf(x,y)dxdy??xdx?2ydy?0.25.
001x9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为
?e?(y?5),y?5,?2x,0?x?1, fY(y)?? fX(x)??0,其它;其它.??0,求E(XY).
【解】方法一：先求X与Y的均值 E(X)? E(Y)?2xg2xdx?, ?031???5ye?(y?5)dy令z?y?55?e?zdz??0????0ze?zdz?5?1?6.
由X与Y的独立性，得
2E(XY)?E(X)gE(Y)??6?4.
3 方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为
?2xe?(y?5),0?x?1,y?5,f(x,y)?fX(x)gfY(y)??
其他,?0,于是
E(XY)????5?10xyg2xe?(y?5)dxdy??2xdxg?012??52ye?(y?5)dy??6?4.
310.设随机变量X，Y的概率密度分别为
?2e?2x,x?0,?4e?4y,fX(x)=? fY(y)=?x?0;?0,?0,2求（1） E(X?Y);（2） E(2X?3Y).
y?0, y?0.【解】E(X)? ? E(Y)?2?????xfX(x)dx????0xg2e?2xdx?[?xe?2x??0]??e-2xdx
0?????0??1e?2xdx?.
2yfY(y)dy??2??0???1yg4e?4ydy?.
4??0 E(Y)??????yfY(y)dy??y2g4e?4ydy?21?. 428从而(1) E(X?Y)?E(X)?E(Y)?113??. 24411522(2)E(2X?3Y)?2E(X)?3E(Y)?2??3??
2882211.设随机变量X的概率密度为
??cxe?kx,x?0,f（x）=?
?x?0.?0,求（1） 系数c;（2）E(X);（3） D(X).
????c?k2x2【解】(1) 由?f(x)dx??cxedx?2?1得c?2k2.
??02k(2) E(X)??????xf(x)d(x)??2??0xg2k2xe?kxdx
22 ?2k(3) E(X)?2???0x2e?kxdx?22π. 2k?????x2f(x)d(x)????0x2g2k2xe?kxdx?2221. 2k1?π?4?π22?. 故 D(X)?E(X)?[E(X)]?2???2??k?2k?4k12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取
出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E(X)和D(X). 【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0，1，2，
3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知
939?0.750, P{X?1}???0.204, 1212113293219???0.041, P{X?3}?????0.005. P{X?2}?1211101211109 P{X?0}?于是，得到X的概率分布表如下： X P 0 0.750 1 0.204 2 0.041 3 0.005 由此可得E(X)?0?0.750?1?0.204?2?0.041?3?0.005?0.301.
E(X2)?02?750?12?0.204?22?0.041?32?0.005?0.413D(X)?E(X)?[E(X)]?0.413?(0.301)?0.322.222
13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为
x?1?4?e,x?0, f(x)??4?0,x?0.?为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，
工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和??200元 P{Y?100}?P{X?1}????11?x/4edx?e?1/4 4?1/4 P{Y??200}?P{X?1}?1?e.
故E(Y)?100?e?1/4?(?200)?(1?e?1/4)?300e?1/4?200?33.64 (元).
14.设X1,X2,L,Xn是相互独立的随机变量，且有E(Xi)??,D(Xi)??2,i?1,2,L,n,
1n1n2(Xi?X)2. 记 X??Xi，S??n?1i?1ni?1
（1） 验证E(X)=μ，D(X) =
?2n；
n21(?Xi2?nX)； （2） 验证S?n?1i?1222（3） 验证E(S)??.
n1n1?1n?1【证】(1) E(X)?E??Xi??E(?Xi)??E(Xi)?gnu?u.
ni?1n?ni?1?ni?1n1n?1n?1D(X)?D??Xi??2D(?Xi)Xi之间相互独立2g?DXi
ni?1i?1?ni?1?n1?22. ?2gn??nn(2) 因为
?(Xi?1ni?X)??(X?X?2XXi)??X?nX?2X?Xi
22i2ii?1i?1i?1n2n2n ??X?nX?2XgnX??Xi2?nX
2ii?1i?1n2n2n21(?Xi2?nX). 故S?n?1i?1222222(3) 因为E(Xi)?u,D(Xi)??,故E(Xi)?D(Xi)?(EXi)???u.
同理因为 E(X)?u,D(X)??2n,故E(X)?2?2n?u2.
概率论与数理统计复旦大学出版社第四章课后答案
