(1)矩阵函数为矩阵幂函数f?A?=Am
?d1?若A为对角矩阵，即A???????? ???dn?md2d2?d1m?则由矩阵乘法，有f?A?=Am????????f?d1???????????mdn????f?d2????? ??f?dn????A1?若A为分块对角矩阵，即A??????A1m?mf?A??A??????mA2A2???，其中Ai?i?1,2,…,s?为子块。则 ???An?f?A2????? ??f?As?????f?A1??????????m?As????
(2矩阵函数为矩阵多项式
f?A??a0I?a1A?a2A2?…+anAn
因为f?A?是几个矩阵指数函数的线性组合，它仍然可以作为（1）中的计算方法。 3.3 利用Jordan标准形法求矩阵函数
设矩阵A?Cn?n的Jordan标准形为J，即A?J,则必存在可逆矩阵P，使
J?P?1AP
从而由矩阵函数的性质4可知f?J??P?1f?A?P 所以求f?A?可以通过以下3个步骤来计算：
第一步，先求出A的Jordan标准形J，接着求相似的变换矩阵P，使得A?PJP?1； 第二步，计算f(J)
?f(J1)?f(J)?????f(J2)????， ??f(Jk)???f(?i)??其中f(Ji)??0??????0f?(?i)f(?i)f??(?i)?2!f?(?i)?00?f(ni?1)(?i)??(ni?1)!?f(ni?2)(?i)??
(ni?2)!???f(?i)???1?1第三步，利用f?J??Pf?A?P求出f?A??Pf?J?P
该方法的关键在于如何求Jordan标准形J，这里简单描述了怎么用初等因子法求Jordan标准形J:
文献[ 10 ]中有基本因素不变因子的定理和定义，有如下摘录：
定义3 标准形的主对角线上非零元素d1???,d2???,…,dr???称为??矩阵A???的不变因子。
定义4 把矩阵A的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A的初等因子。
求Jordan标准形的具体方法：
1、首先求给定矩阵A的特征矩阵?I?A；
2、再求矩阵A的初等因子组??-?1?1,????2?2,…,????s?s，其中?1,?2,…,?s可能有相同的，m1,m2,…,ms中也可能有相同的，但总有?ms?n；
i?1smmm3、每个初等因子????i?i对应着一个Jordan块Ji，其阶数为mi，对角线元素为?i，
??i?即Ji?????m?i??? ????i?mi?J1?4、这些Jordan块的组合构成一个Jordan矩阵J，即J?????J2??? ???Js?2?1??2??A??1?11例 设??，求eAt.
??1?22???解 令f????e?t.求得A的Jordan标准形为：
?JJ??1?0?110?0??????010?. J2????001?再求相似的变换矩阵P.
?1设P?(?1,?2,?3),使PAP?J,则AP?PJ,即
?110???A??1,?2,?3????1,?2,?3??010??001???
?A?1??1??1,?2,?3应满足?A?2??1??2即?1,?3是(A?I)x?0两个线性无关的解.解
?A???3?3?12?1???(1,1),(0,1),得特征向量?1?21??x?0，同解方程组x1?2x2?x3?0，令x2,x3分别取??1?21?????1??1??0???101??010???????????1?1??1,??0??0,P?100P??1?21，于是有则，计算出2??3????????.
?1??1??1??111??110???????????于是
?f?J1?eAt?f?A??Pf?J?P?1?P??0?f(1)0??1??P ?P?0f?J2???0?f?(1)f(1)00??0?P?1 f(1)????101?????100??111????et??0?0?tetet00??0?et??2t?t?10??t?1?0????tt?. ??1?21??e??t1?2t??t?1?2t1?t?10?????一个重要的结论：以独立的矩阵函数和Jordan块的排列顺序没有任何关系，没有选定
具体的变换矩阵P，矩阵函数总能转为计算矩阵多项式。 3.4 利用待定系数法求矩阵函数（化零多项式法）
从上面的介绍可以知道求矩阵函数通过求矩阵Jordan标准形式的方法是非常复杂的，它要求Jordan标准形式及变换矩阵，这个过程很繁琐。下面我们介绍根据化零多项式求解矩阵函数的一种方法，希望能达到降低计算量的目的。要达到目的这里需要介绍一个非常有用的定理。
定理 n阶方阵A的最小多项式等于它的特征矩阵的第n个（也就是最后一个）不变因子dn(?)。初等因子，不变因子的概念见引用文献[10]中的定义3，定义4，这里不再介绍。
设n阶方阵A的不变因子反向依次为dn(?),dn?1(?),?,d1(?)，由他们给出的初等因子分别为(???1),(???2),?,(???r),(???r?1)di(?)di?1(?)(i?1,2,?,n?1)，所以 m1m2mrmr?1,?,(???s),其中
ms?mi?1si?n。因为
?r?1,?,?s必定出现在?1,?,?r中；
如果?i??j(j?r?i)，则mi?mj。
mmm因此，矩阵A的最小多项式是m(?)?(???1)1(???2)2?(???s)s，它的最小多项式mmm就是它的零化多项式，也就是m(A)?(A??1I)1(A??2I)2?(A??sI)s?0.
按照矩阵函数的定义，只要求出多项式g???，有
f????i??g????i????l?0,1,2,…,di?1ll???????????????????????????????i?1,2,3,…,s
???????????????????????????????di?mi?1s
2m?1令g????a0?a1??a2??…?am?1?其中m是A的一个极小多项式的次数，从上述条件
可以得到方程组求出a0,a1,…,am?1，从而得到g???，最终得到
f?A??g?A??a0I?a1A?a2A2?…?am?1Am?1
这是待定系数法的使用（多项式法）求解矩阵函数的相关理论知识，这里有具体的例子说明了如何使用这种方法。
?010???例 设矩阵A??001?,求eAt
??230??解 由于特征多项式??????I?A????2????1?，易算出???2????1?不是A的零化2多项式，故A的最小多项式?m???为?m????????????2????1?，于是设g???为2次多
2At2项式，即g????a0?a1??a2?，由于f????e，且?1?2是单根，?2??1是二重根，故
有
?f??1??g??1???f??2??g??2??f?????g????22 ?
即
?e2t?a0?2a1?4a2??t ?e?a0?a1?a2
?te?t?a?2a12?解得
12t??t?ta?e?8e?6te??0?9?1?a?2e2t?2e?t?3te?t???19?12t?t??ta?e?e?3te??2?9? 从而得
eAt?f?A??g?A????????a0I?a1A?a2A2?e2t??8?6t?e?t1?????????ae2t??2?6t?e?t9?4e2t??4?6t?e?t? 2e2t??2?3t?e?t4e2t??5?3t?e?t8e2t??3t?8?e?te2t??1?3t?e?t??2e2t??2?3t?e?t?4e2t??5?3t?e?t?? 3.5 四种方法的比较
为了将问题说明清楚，这里将几个基本概念回顾一下。首先了解初等变换的概念。初等变换（elementary transformation）是高代中的数学名词，同时也代表着一种运算。初等变换主要包括三种情况：线性方程组里的初等变换、行列式中的初等变换和矩阵的初等变换。三个方面的初等变换大同小异。由于本文是矩阵函数及其应用的研究，因此本文主
矩阵函数以及应用毕业论文设计
