的矩阵函数均假设为收敛的矩阵幂级数。 3.1 利用Hamiltio-Cayley定理求矩阵函数
定理 (Hamilton-Cayley) 设A∈Mn(F), f(?)=|?In?A|是A的特征多项式，则
f(A)?An?(a11?a22???ann)An?1???(?1)n|A|In?0.
为了便于后面的理解，这里作一点简单的证明。
证 设B(?)是?In?A的伴随矩阵，则根据伴随矩阵的定义有：
B(?)(?In?A)?|?In?A|In?f(?)In．
因为矩阵B(?)的元素是|?In?A|的各个代数余子式，都是?的多项式，其次数不超过
n?1．因此由矩阵的运算性质，B(?)可以写成
B(?)??n?1B0??n?2B1???Bn?1．
其中B0，B1，?，Bn?1∈Mn(F)．
再设f(?)??n?a1?n?1???an?1??an，则
f(?)In??nIn?a1?n?1In???anIn． (1) 于是
B(?)(?In?A)?(?n?1B0??n?2B1???Bn?1)(?In?A)
??nB0??n?1(B1?B0A)??n?2(B2?B1A)????(Bn?1?Bn?2A)?Bn?1A
(2)
比较(1)和(2)，得
?B0?In?B?BA?aI01n?1?B2?B1A?a2In ??????????． (3)
??Bn?1?Bn?2A?an?1In???Bn?1A?anIn用An，An?1,?,A,In依次从右边乘(3)的第一式，第二式，?，第n式，第n+1式，得
?B0An?An?BAn?1?BAn?aAn?101?1n?2n?1?B2A?B1A?a2An?2? ????????????． (4)
?Bn?1A?Bn?2A2?an?1A???Bn?1A??nIn把(4)的n+1个式子相加，左边变成零，右边就是f (A)，故f(A)=0．
为了继续研究的需要，在这里对上文中提到的伴随矩阵的概念作简单的介绍。根据线性代数的知识体系，任何一个方阵的伴随矩阵其实是一个和矩阵逆矩阵相似的概念。假如一个矩阵是可逆的，可以得到它的伴随矩阵和它的逆矩阵之间是一种倍数的关系。但是，伴随矩阵对于不可逆的矩阵也有定义，而且不需要用除法。矩阵A的伴随矩阵可以按下面的方法定义：1.把矩阵的每一个元素都换成与之匹配的代数余子式；（代数余子式的定义：在一个n阶行列式A中,把组成的元
阶行列式叫做
元元
所在的第行和第列的全部元素去掉，剩下的所有元素的余子式，记着
;即
，
就叫做
的代数余子式）注意：前面求得的是一个具体的数而不是一个矩阵。2.将（1）中
求得的矩阵转置就是A的伴随矩阵，补充：（实际求解伴随矩阵即A*=adj（A）：去除A的行列式D中元素
对应的第行和第列得到的新行列式D1代替aij，这样就不用转置了）
例 设A是n阶可逆矩阵，则A?1?g(A)，其中g(?)是一个n－1次多项式． 证 设A的特征多项式为
|?In?A|??n?a1?n?1???an?1??an，
通过Hamilion-Cayley定理，可以得到
An?a1An?1???an?1A?anIn?O．
因为A是可逆矩阵，所以an?(?1)n|A|?0，于是上式可化为
?1(An?1?a1An?2???an?1In)A?In， an这表明
A?1??1(An?1?a1An?2???an?1In)?g(A)， an1n?1(??a1?n?2???an?1)是一个n－1次多项式． an其中，g(?)??设F是一个数域，?是文字，求多项式环F[?]，一个给定的矩阵若它的元素都是关于
即F[?]的所有元素，这个矩阵就被称作??矩阵.因为存在于数域P中的?的一个多项式，
元素也是P[?]的数，所以在??矩阵中也包含了以数为元素组成的矩阵.为了与原有的??矩阵区别开来，我们称数域P中的数为元素组成的矩阵为数字矩阵.在接下来的文章中就用A(?),B(?),?等表示??矩阵.
上面提到的多项式环中的环其实是一种代数结构。在抽象代数里，代数结构（algebraic structure）是指至少具备两个的计算（最常用的操作，可以存在无数个计算）的非空集合。一般研究的代数结构有群、环、域、格、模、域代数和向量空间等等。对于非空集合R，如果定义了两种代数运算+和*（不一定就是代数中加法与乘法的含义），并且满足下面的条件：1）集合R在运算+下能组成阿贝尔群（Abel）。2）*具有封闭性，就是对于任意的a∈R,b∈R，总是有a*b∈R。3）运算符*下有分配律和结合律，即对于任意的a∈R，b∈R和c∈R，总有：a*（b+c）=a*b+a*c，（b+c）*a=b*a+c*a，（a*b）*c=a*（b*c），我们就把R称作环（Ring）。所以满足上述定义的多项式就被称为多项式环。
我们清楚，P[?]中的元素能进行加或者减或者乘三种计算，并且它们的计算和数的运算规律是相同的.矩阵的加法和乘法的定义中使用的元素的加法和乘法，所以它可以类似地定义??矩阵的加法和乘法，和数字矩阵运算的算法规则相同。
通过行列式的本质，可以看到只用了元素的加法和乘法，所以，同理也能定义n?n的
??矩阵行列式.一般来说，??矩阵的行列式也是一个多项式，它和数字矩阵的行列式具有同样的性质。
定义 一个n?n的??矩阵A(?)称为可逆的，如果有一个n?n的??矩阵B(?)使 A(?)B(?)?B(?)A(?)?E, (1) 这里E是单位矩阵.适用(1)的矩阵B(?)(它是唯一的)被称作A(?)的逆矩阵，记作
A?1(?).
?0A?例 已知???11?At?,求e。 0?2解 A的特征多项式为?I?A???1,通过Hamiltio-Cayley定理有：A2?I?0,即
A2??I,A3??A,A4?I,A5?A,?,
即 A2k?(?1)kI,A2k?1?(?1)kA(k?1,2,?),
故 eAt??1kkAt k!k?0???t??t3t5?????A 3!5!???t2t4??1???? ??I?2!4!?? ?(cotsI) ??(stinA )t?cost??sinsitn??. cot?s3.2 利用相似对角化求矩阵函数
设A?Cn?n是对角矩阵，那么必有n阶的可逆矩阵P,使
P?1AP?diag(?1,?2,?,?n)??,
f(A)??akA??ak(P?P)?P(?ak?k)P?1k?1kk?0k?0k?0????Pdiag(?a?,?ak?,?,?ak?nk)P?1kk1k2k?0k?0k?0???则有
?Pdiag(f(?1),f(?2),?,f(?n))P?1,
从而，f(At)?Pdiag(f(?1t),f(?2t),?,f(?nt))P?1.
为了便于理解，这里简单介绍一下文中将会用到的可对角化矩阵、可逆矩阵、可交换矩阵和变换矩阵的相关概念。为了告诉概念清晰的对角化矩阵，首先简要说明相似矩阵的概念。设A,B都是n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P使B?P?1AP,则称矩阵A与矩阵B相似，记作A?B.矩阵的相似是一种等价关系。如果n阶方阵A能与一个对角矩阵相似，称
A可以对角化。n阶的方阵A能对角化的充要条件是它具备n个线性无关的特征向量。可
逆矩阵是线性代数中经常用到的一种矩阵，它在线性代数中的定义为给定一个n阶的方阵
A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB?BA?In（或AB?In、BA?In 任意满足一个），
其中In为n 阶单位矩阵，则称A是可逆的，且B 是A 的逆阵，记作A?1。如果一个方阵有乘法交换律，那么这个方阵就是可交换矩阵，用数学表达式表示就是：A?B?B?A。变换矩阵是线性代数中的一个数学概念。在线性代数中，线性变换能够用矩阵表示。如果T是能将Rn映射到Rm的一个线性变换，并且x是有n个元素的列向量 ，那么我们就可以将m×n的矩阵A，叫作T的变换矩阵。任何一种线性变换都能用矩阵表示，并且它更容易计算，就算有很多线性变换只要正确地使用矩阵乘法就能够将它们连接起来。如果线性变换
函数的类型是T(x)，只要通过T对标准基中的任意一个向量作简单变换，最后把结果插到矩阵的列中，所以它是很容易确定的变换矩阵A，即：
?460???例 已知A???3?50?,求eAt,cosA.
??3?61???解 det(?I?A)?(??2)(??1)2,所以A的特征值为?1=-2，?2=?3=1。对应于?1=-2的特
TTT,,）-210,,）,）征向量?1=（-111；对应于?2=?3=1线性无关的特征向量?2=（，?3=（0,01，
故
?-1-20???P??110?，?101???
??200????1使得 PAP??010?.
?001????e?2t0?Atte?P于是 ?0e?00?0??0?P?1 et???2et?e?2t2et?2e?2t0???2tt??2tt??e?e2e?e0?.?e?2t?et2e?2t?2etet?? ?(2)00?cos?????1cosA?P?0cos1?0P??100cos??
1cos22?cos12cos?2?2cos?????cos2?cos12c?os2cos1?0.?cos2?cos1?cos12c?os22cos1??
上面介绍的是一般矩阵，一般矩阵可以通过相似对角化的方法求解矩阵函数，对一般矩阵而言相似对角化的过程必须先求出矩阵的特征向量。当然矩阵中还有些比较特殊的矩阵，因为他们的特殊性可以将计算简化。对角矩阵就是这样的一种特殊矩阵，接着就来介绍求对角矩阵函数f?A?的方法。（A为一个对角矩阵或者对角矩阵的块）。
矩阵函数以及应用毕业论文设计
