§1.3 三角函数的诱导公式(一)
学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程(难点).3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题(重点、难点)．
知识点 诱导公式二、三、四 1．诱导公式二
终边关系 角π＋α与角α的终边关于原点对称 公式 2．诱导公式三
终边关系 角－α与角α的终边关于x轴对称 公式 3．诱导公式四
终边关系 角π－α与角α的终边关于y轴对称 公式 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式中角α是任意角．( ) (2)sin(α－π)＝sin α.( ) 41
(3)cosπ＝－.( )
32
提示 (1)×，正、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义．
图示 sin(π－α)＝sin_αcos(π－α)＝－cos_α tan(π－α)＝－tan_α 图示 sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α， tan(－α)＝－tan α 图示 sin(π＋α)＝－sin_αcos(π＋α)＝－cos_α tan(π＋α)＝tan_α 1 / 11
(2)×，sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α． 4πππ1
(3)√，cos＝cos(π＋)＝－cos＝－．
3332
题型一 给角求值问题
【例1】 (1)sin 750°＝________；cos(－2 040°)＝________.； 1
解析 sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝；
2
cos(－2 040°)＝cos 2 040°＝cos(5×360°＋240°)＝cos 240° 1
＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－．
211答案 －
22
31π10π(2)计算：sin(－)－cos(－)＝________．
63解析 原式＝－sinπ11
cos＝＋＝1．
322
答案 1
规律方法 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式一或三来转化．
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 【训练1】 求下列各三角函数式的值：
31π10ππππ
－cos＝－sin(4π＋π＋)－cos(2π＋π＋)＝sin＋63636
?31π?；(3)tan(－945°)．
(1)sin 1 320°；(2)cos?－
6???
解 (1)方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－3
． 2
方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°) ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－
3． 2
2 / 11
?31π?＝cos31π＝cos?4π＋7π?
(2)方法一 cos?－???6?6?6??
ππ3＝cos(π＋)＝－cos＝－．
66231π?5π???－－6π＋方法二 cos??＝cos??
6?6???π?π3?＝cos?π－?＝－cos＝－． 6?62?
(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1． 题型二 化简求值问题
π2π3π4π5π6π
【例2】 (1)计算：cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＝________；
777777π2π3π3π2πππ
解析 原式＝cos＋cos＋cos＋cos(π－)＋cos(π－)＋cos(π－)＝cos
77777772π3π3π2ππ
＋cos＋cos－cos－cos－cos＝0．
77777
答案 0
cosπ＋αcos3π－αtanπ＋α(2)化简：．
sinπ＋αcos－α－π解 原式＝
－cos α·－cos α·tan αcos αsin α＝·＝1．
－sin α－cos αsin αcos α规律方法 三角函数式化简的常用方法
(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式．
②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． 【训练2】 化简下列各式：
tan2π－αsin－2π－αcos6π－α(1)；
cosα－πsin5π－α(2)
1＋2sin 290°cos 430°
．
sin 250°＋cos 790°
-tanα·sin－αcos－α解 (1)原式＝
cosπ－αsinπ－α－sin α－sin αcos αsin α＝＝－＝－tan α． cos α－cos αsin αcos α3 / 11
2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式1学案新人教A版必修4
