专题03 二元不等式恒成立问题
【方法点拨】
1.对于“双参求一参数范围问题”宜采取变更主元法，如例1、例2，此类题目的特征是：含有双参数而问题是求其中一个参数的取值范围，只需将另一参数视为“主元”，求出最值即可.
2.对于“f(x)?ax?b或f(x)?ax?b求有关a、b的代数式取值范围”型，利用几何意义，转化为比较零点来处理.
【典型题示例】
例1 （2024·海安中学3月线上测试·14）若关于x的不等式x3﹣3x2+ax+b＜0对任意的
实数x∈[1，3]及任意的实数b∈[2，4]恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】（﹣∞，﹣2）
【分析】本题的特征是，较一般的不等式恒成立问题，增加了一个变量，一般是关于该变
量的“一次式”，其解法是：变更主元，先看作“一次变量”的恒成立问题即可. 【解析】先视为以b为主元的函数，设f(b)= b+ (x3﹣3x2+ax)
则f(b)为关于b的一次函数，在b∈[2，4]上增，为使f(b) ＜0恒成立 只需f(4) ＜0，即x3﹣3x2+ax+4＜0
再考虑x3﹣3x2+ax+4＜0在x∈[1，3]恒成立 分离参数可得：a＜3x﹣x2，
设g（x）＝3x﹣x2，x∈[1，3]，故a＜g（x）的最小值
由g′（x）＝3﹣2x，可得1＜x＜2时，g′（x）＞0，g（x）递增；2＜x＜3时， g′（x）＜0，g（x）递减，
又g（1）＝﹣2，g（3），可得g（x）在[1，3]的最小值为﹣2， ∴a＜﹣2，故实数 a的范围是（﹣∞，﹣2）． 例2 已知函数f(x)8lnxx210xc，若对任意k?[?1,1]，x?(0,8]，不等式
(k?1)x?f(x)恒成立，求实数c的取值范围．
【答案】(,168ln8]
【解析】由(k1)x≥f(x)在x(0,8]恒成立，
8lnxck≥x11xx对任意k[1,1]恒成立， 整理得
1≥8lnxxx11cx恒成立，
1
所以应有
专题03 二元不等式恒成立问题-2024年高考数学一轮复习优拔尖必刷压轴题(选择题、填空题)(新高考地区专用
