§3.8 函数模型及函数的综合应用
基础知识专题固本夯基
【基础训练】
考点 函数模型及函数的综合应用
1.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.
??+??
2
B.
(??+1)(??+1)-1
2
C.√???? D.√(??+1)(??+1)-1 【参考答案】D
2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)＝f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时, f(x)＝x.令g(x)＝f(x)-kx-k,若在区间[-1,3]内,函数g(x)＝0有4个不相等实根,则实数k的取值范围是( ) A.(0,+∞) B.(0,] C.(0,] D.[,] 【参考答案】C
3.函数y＝|log3x|的图象与直线l1:y＝m从左至右分别交于点A,B,与直线l2:y＝和BD在x轴上的投影长度分别为a,b,则的最小值为( ) A.81√3 B.27√3 C.9√3 D.3√3 【参考答案】B
4.某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.
????
8
(m>0)从左至右分别交于点2??+1
12
14
1143
2
C,D.记线段AC
当t∈(0,14]时,曲线是二次函数图象的一部分,当t∈(14,40]时,曲线是函数y＝loga(t-5)+83(a>0且a≠1)图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳. (1)试求p＝f(t)的函数关系式;
(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳?请说明理由.
【试题解析】(1)当t∈(0,14]时,设p＝f(t)＝c(t-12)+82(c<0),将点(14,81)代入得c＝-,
2
14
所以当t∈(0,14]时,p＝f(t)＝-(t-12)+82.
2
14
当t∈[14,40]时,将点(14,81)代入y＝loga(t-5)+83, 得a＝,所以p＝f(t)＝{
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-(t-12)2+82,t∈(0,14],
3
log1(t-5)+83,t∈(14,40].
14
(2)当t∈(0,14]时,-(t-12)+82≥80,
解得12-2√2≤t≤12+2√2,所以t∈[12-2√2,14]. 14
2
1
当t∈(14,40]时,log1(t-5)+83≥80,解得5 3排核心内容能使得学生听课效果最佳. 综合篇知能转换 【综合集训】 考法一 解函数应用题的方法步骤 1.(2024河南郑州模拟,7)某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表: 记录时间 2024年1月1日 2024年1月2日 累计里程 4 000 4 100 平均耗电量(单 0.125 0.126 剩余续航里程 (单位:千米) 280 146 累计耗电量累计里程 (单位:千米) 位:kW·h/千米) 注:累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程,累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量,平均耗电量＝ ,剩余续 航里程＝ 剩余电量平均耗电量 下面对该车在两次记录时间段内行驶100千米的耗电量估计正确的是( ) A.等于12.5 B.在12.5到12.6之间 C.等于12.6 D.大于12.6 【参考答案】D 2.(2024福建三明期末,14)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则 1?T-Ta＝(T0-Ta)·(),其中 2 ?? Ta称为环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如 果咖啡降到40 ℃需要20分钟,那么此杯咖啡从40 ℃降到32 ℃时,还需要 分钟. 【参考答案】10 3.(2024届河南南阳一中第一次月考,22)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)万元,当年产量不足80千件时,C(x)＝x+10x;当年产量不小于80千件时,C(x)＝51x+ 2 1310 000 -1 450.每件商品的售价为?? 0.05万元.通过 市场分析,该厂生产的商品能全部销售完. (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一产品的生产中所获利润最大,最大利润是多少? 【试题解析】(1)∵每件商品的售价为0.05万元, ∴x千件商品的销售额为0.05×1 000x万元, ①当0 2 2 1313 ②当x≥80时,根据年利润＝销售收入-成本, 得L(x)＝0.05×1 000x-51x-1 10 000 +1 450-250＝1 200-(???? + 10 000 ). ?? -??2+40x-250,0 综①②可得,L(x)＝{3 10 000 1 200-(??+),x≥80. ?? (2)当0 2 L(x)＝-x+40x-250＝-(x-60)+950, ∴当x＝60时,L(x)取得最大值L(60)＝950; 当x≥80时,L(x)＝1 200-(??+ 10 000 )≤1 200-200＝1 000,当且仅当?? 13 2 13 2 x＝ 10 000 ,即?? x＝100时,L(x)取得最大值L(100)＝1 000. 由于950<1 000,∴年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大,为1 000万元. 考法二 函数的综合应用 4.(2024福建漳州模拟,16)中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美,如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.给出定义:能够将圆的周长和面积同时平分的图象对应的函数称为这个圆的“优美函数”,给出下列命题: ①对于任意一个圆O,其“优美函数”有无数个; ②函数f(x)＝ln(x+√??2+1)可以是某个圆的“优美函数”; 2 ③函数y＝1+sin x可以同时是无数个圆的“优美函数”; ④函数y＝2x+1可以同时是无数个圆的“优美函数”; ⑤函数y＝f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y＝f(x)的图象是中心对称图形. 其中正确的命题是 . 【参考答案】①③④ e-??-2,x≤0, 5.(2024陕西西安中学期中,16)已知函数f(x)＝{(a是常数且a>0),给出下列命题: 2????-1,??>0①函数f(x)的最小值是-1; ②函数f(x)在R上是单调函数; ③若f(x)>0在[,+∞)上恒成立,则a的取值范围是a>1; ④对任意的x1<0,x2<0且x1≠x2,恒有f(其中正确命题的序号是 . 【参考答案】①③④ ??1+??2??(??1)+f(??2) )<. 22 1 2 【5年高考】 考点 函数模型及函数的综合应用 1.(2024课标Ⅱ,4,5分)2024年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程: ??1(??+??) ??2??12+??2＝(R+r)3. ?? 设α＝.由于α的值很小,因此在近似计算中 ????3 ????3??3+3??4+??5 (1+??)23 ≈3α,则r的近似值为( ) 3 A.√2R B.√2R C.√2R D.√2R ??2????3?? 1 1 1 1 3????【参考答案】D 3
2024年3月新高考数学复习资料§3.8函数模型及函数的综合应用试题及参考答案
