第25章 染色问题
25.1.1★★圆周上等间距地分布着27个点，它们被分别染为黑色或白色．今知其中任何2个黑点之间
至少间隔2个点．证明：从中可以找到3个白点，它们形成等边三角形的3个顶点． 解析 我们将27个点依次编号，易知它们一共可以形成9个正三角形 (1，10，19)，(2，11，20)，…，(9，18，27)． 由染色规则知，其中至多有9个黑点．
如果黑点不多于8个，则其中必有一个正三角形的所有顶点全为白色．如果黑点恰有9个，那么由
染色规则知，它们只能是一黑两白相间排列，其中也一定有一个正三角形的所有顶点全为白色．
25．1．2★★某班有50位学生，男女各占一半，他们围成一圈席地而坐开营火晚会．求证：必能找到一位两旁都是女生的学生．
解析 将50个座位相间地涂成黑白两色，假设不论如何围坐都找不到一位两旁都是女生的学生，那么25个涂有黑色记号的座位至多坐12个女生．否则一定存在两相邻的涂有黑色标记的座位，其上面都坐着女生，其间坐着的那一个学生与假设导致矛盾．同理，25个涂有白色标记的座位至多只能坐12个女生，因此全部入座的女生不超过24人，与题设相矛盾．故命题得证．
25.1.3★在线段AB的两个端点，一个标以红色，一个标以蓝色，在线段中间插入n个分点，在各个分
点上随意地标上红色或蓝色，这样就把原线段分为n?1个不重叠的小线段，这些小线段的两端颜色不同者叫做标准线段．求证：标准线段的个数是奇数．
设最后一个标准线段为AkAk?1．若Ak?A0，则仅有一个标准线段，命题显然成立；若An?Ak，由
A、B不同色，则A0必与Ak同色，不妨设A0与Ak均为红色，那么在A0和Ak之间若有一红
蓝的标准
线段，必有一蓝红的标准线段与之对应；否则Ak不能为红色，所以在A0和Ak之间，红蓝和蓝红的标准线段就成对出现，即A0和Ak之间的标准线段的个数是偶数，加上最后一个标准线段AkAk?1，所以，A和B之间的标准线段的个数是奇数．
25．1．4★★能否用面积为1?4的一些长方块将10?10的棋盘覆盖?
解析 如图中标上1～4这些数，显然每个1×4的长方块各占1、2、3、4一个，于是如果可以覆盖，则1、2、3、4应一样多，但1有25个，2则有26个，矛盾!因此不能覆盖．
1 2 3 4 1 2 3 5 1 2 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 / 13
3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3
25.1.5★★12个红球和12个蓝球排成一行，证明：必有相邻的6个球三红三蓝．
解析 将这些球标上数字，红球标1，而蓝球则标上?1，于是问题变为：必定有6个相邻的球其标数之和为0．记从第i个球起的6个数字和为Si，于是i可取1，2，…，19． 易知S1的全部取值为?6、?4、?2、0、2、4、6，且Si?1?Si?0或2(可以认为以2或?2、0的步长“连续”变化)．由S1?S7?S13?S19?0，知若四数中有0，则结论成立，否则必有正有负．不妨设Si?0，Sj?0，i，j?{1，7，13，19}，于是必存在一个k，k在i与j之间，Sk?0．
25．1．6★如图，把正方体形的房子分割成27个相等的小房间，每相邻(即有公共面)两个房间都有门相通，在中心的那个小正方体中有一只甲虫，甲虫能从每个小房问走到与它相邻的小房间中的任何一问去．如果要求甲虫只能走到每个小房间一次，那么甲虫能走遍所有的小房间吗?
解析 甲虫不能走遍所有的小房间．我们如右图将正方体分割成27个小正方体(每个小正方体表示一问房间)，涂上黑白相间的两种颜色，使得中心的小正方体染成白色，再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色．显然，在27个小正方体中，14个是黑的，13个是白的．甲虫从中间的白色小正方体出发，每走一步，方格就改变一种颜色．故它走26步，应该经过14个白色的小正方体、13个黑色的小正方体．因此在26步中至少有一个小正方体，甲虫进去过两次．由此可见，如果要求甲虫到每一个小房间只去一次，那么甲虫不能走遍所有的小房间．
25.1.7★★3行9列共27个小方格，将每个小方格涂上红色或蓝色．试证：无论如何涂法，其中至少有两列，它们的涂色方式完全一样．
解析 第一行的9个方格中必有5格同色(抽屉原理)，不妨设这5个方格位于前五个位置，且都为红色．
下面考虑前五列构成的3×5小矩形．第二行的五格中必有3格是同色的，不妨设这三格位于前三个位置．
接着考虑前三列构成的3×3方阵，该方阵前两行的每列完全一样．对第三行，用两种颜色染色时，三列中必有两列同色，不妨设是前两列．此时前两列的涂色方式完全一样． 红 红 红 红 红 2 / 13
A A A b b 25.1.8★★如图(a)，是由14个大小相同的正方形组成的图形，证明：不论如何用剪刀沿着图中直线进行剪裁，总剪不出七个由相邻两个小正方形组成的矩形来．
(a)(b)
解析 如图(b)涂色．
若有一种剪法能剪出七个相邻两个小正方形组成的矩形，则每个矩形一定由一个涂色小正方形和一个不涂色小正方形构成．因此，应该有七个涂色小正方形和七个不涂色的小正方形． 但图中有八个涂色小正方形，六个不涂色小正方形，因此适合题意的剪法不存在． 25.1.9★★★在8×8的国际象棋棋盘中的每个方格都填上一个整数，现任挑选3×3或4×4的正方形，将其中每个数加1，称为一次操作，问是否能经过有限次操作，一定可以让方格中的所有整数均被10整除? 解析 按图中选择小方格涂黑，易见每个3×3或4×4都包含偶数个小黑格，这些小黑格中原来数字之和是奇数的话，那么操作一次后，数字和仍是奇数，因此不能得到最后均被10整除．答案是不一定．
25.1.10★★4×4的方格表中最多选择几个格子涂黑，使得不存在4个黑格的中心是一个矩形的顶点?
解析 如图，涂9格，无所求矩形，下证若涂10格，则会出现所求矩形．
这是因为若有一行全部涂黑，则余下的行中必有一行至少涂黑2格，此时便有所求矩形出现．于是每行黑格数不到4个，必有两行各包含3个黑格，此时不难看出有所求矩形出现，因此最多选择9格．
25.4.11★★★在8×8的国际象棋棋盘中剪去哪个小方格，使得剩下的小方格可以被1×3的矩形覆盖?
解析 剪去左上角的方格后，棋盘不能用21个3×1的矩形覆盖．
为了证明这一点，我们将棋盘涂上三种颜色，涂法如图，其中数字1、2、3分别表示第一、二、三种颜色．
如果能用21个3×1矩形将剪去左上角的棋盘覆盖，那么每个3×1的矩形盖住第一、二、
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初中数学竞赛专题复习第四篇组合第25章染色问题试题人教版
