核心考点解读——计数原理
两个计数原理（II） 排列、组合（II） 二项式定理（II） 1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目以选择题、填空题为主，考查计数原理及二项式展开式中特定项或其系数等问题， 2.从考查内容来看，主要考查利用两个计数原理及排列数、组合数公式，结合分类讨论思想考查完成事情的方法总数；考查利用二项式定理，求解二项展开式中特定项或其系数或系数的最大或最小问题等. 3.从考查热点来看，排列、组合、二项式定理是高考命题的热点，根据两个计数原理及排列数、组合数公式确定完成事情的方法总数，同时注意方法的选用.二项展开式中特定项的系数问题是主要的考查内容，着重考查学生运用公式计算的能力. 1.两个计数原理 (1)分类加法计数原理：完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1 种不同的方法，在第二类中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事的所有方法种数为N?m1?m2??mn. (2)分步乘法计数原理：完成一件事需要n个不同的步骤，在第一个步骤中有m1种不同的方法，在第二个步骤中有m2种不同的方法，…，在第n个步骤中有mn种不同的方法，则完成这件事的所有方法种数为N?m1?m2??mn. (3)两个计数原理的区别在于完成事情的方法是可以完成事情的所有，还是完成事情的某一个步骤.分类加法计数原理中的各种方法都是相互独立的，任何一种方法都能够完成这件事情；分步乘法计数原理中各个步骤的方法是相互联系的，只有各个步骤都完成，才能完成这件事情.要注意两个计数原理的综合应用. 2.排列、组合 (1)排列与排列数：一般的，从n个不同元素中取出m(m?n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号An表示. 排列数公式：An?n(n?1)(n?2)mm(n?m?1)?n!. (n?m)!
n全排列：An?n!?n(n?1)(n?2)2?1. 规定：0!?1. (2)组合与组合数：一般的，从n个不同元素中取出m(m?n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cn表示. mAmn(n?1)(n?2)(n?m?1)n!组合数公式：C?n. ??mAmm(m?1)(m?2)2?1m!(n?m)!mn0规定：Cn?1. mmm?1mn?m组合数的性质：Cn?Cn，Cn?1?Cn?Cn. (3)排列与组合的异同点：共同点是“从n个不同元素中取出m(m?n)个元素”，都是取元素；不同点是排列是取出元素后要按照给定的顺序排列，组合则只需要取出元素放在一起即可.因此，我们区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看选出的元素是否需要排序. (4)比较常见的一些方法： 特殊元素、特殊位置优先安排法，相邻元素捆绑法，相间、分离元素插空法，间接法，分类讨论法等. 要能够根据问题所呈现的信息，看是否存在元素、位置的特殊性，考查的元素是否相邻等，若考查的问题比较复杂，则需要综合考虑，分类讨论时，则要注意分类标准的确定，要保证不重不漏.若类与类之间出现重叠，则要把重叠的情况找出来，在整体中减去这些重叠的部分. 3.二项式定理： n1n?1(1)二项式定理：公式(a?b)n?C0b?na?Cnan?kk?Ckb?nan??Cnnb(n?N) 叫做二项式定理. Ck,n)：二项式系数， n(k?0,1,2,n?kkn?kkCkb：二项展开式的通项，即Tk?1?Ckb. nana要注意第r?1项二项式系数与第r?1项的系数的区别. (2)二项式系数的相关性质： 012n0213Cn?Cn?Cn?????Cn?2n，Cn?Cn?????Cn?Cn?????2n?1.
nnn?12?1 和若n为偶数，则第?1项的二项式系数Cn最大；若n为奇数，则第22n?1n?1n?12?1项的二项式系数Cn和Cn2最大. 2(3)利用二项展开式的通项求特定项的系数时，可以通过建立方程找到该项是展开式的哪一项，然后再求得该项的系数. (4)二项展开式的系数和或差问题的求解策略通常是采用赋值法，令x?1，则可以求得二项展开式中所有项的系数的和；令x??1，则可以求得二项展开式中所有项的系数正、负相间的和；若上述两式相加或相减，则可以得到展开式中所有的奇数项系数的和与偶数项系数的和；令x?0，则可以求得展开式中常数项的系数. (5)求解两个二项式乘积中一些特定项或特定项的系数的问题可以根据多项式的乘法法则，弄清楚这些特定的项的构成规律，然后再进行具体的计算.
1．（2017高考新课标I，理6）(1?A．15
B．20
1)(1?x)6展开式中x2的系数为 2x
C．30
D．35
2．（2017高考新课标II，理6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 A．12种
B．18种
5C．24种
33 D．36种
3．（2017高考新课标III，理4）?x?y??2x?y?的展开式中xy的系数为 A．?80
B．?40
C．40
D．80
4.(2016高考新课标I，理14) (2x?x)5的展开式中，x3的系数是 .（用数字填写答案）
5.(2016高考新课标II，理5)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A．24
B．18
C．12
D．9
6.(2016高考新课标III，理12)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任
高考理数考前20天终极冲刺攻略： 计数原理 含答案解析
